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Sejam a_1, ..., a_n os elementos do
conjunto.
Tome
um deles (seja a_m) e multiplique a esquerda por todos:
a_m a_1, ..., a_m a_n. Quaisquer dois desta lista
sao diferentes (pelo cancelamento
a esquerda), e sao em numero de n. Logo, sao os
mesmos da lista anterior. Entao algum
deles (sem perda de generalidade, o primeiro) eh o
proprio a_m, isto eh:
a_m
a_1 = a_m. Agora, para qualquer k, se tem (pela associatividade, nao escrevo
pareneteses):
a_m
a_k = a_m a_1 a_k . Pelo cancelamento a esquerda: a_k = a_1 a_k.
Analogamente, voce prova que: a_k = a_k a_1. Logo
a_1 = e eh neutro.
Para provar a existencia de inverso de cada
elemento, use argumento analogo:
multiplique um deleds a esquerda por todos. Um
destes terah que ser igual ao neutro, etc.
JP
-----Mensagem original-----
De: edmilson <edmilson@abeunet.com.br> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Terça-feira, 11 de Julho de 2000 19:50 Assunto: Problema de Álgebra Caros amigos da lista,
Peço ajuda, pois estou estudando
álgebra abstrata e esbarrei no seguinte problema :
Seja G um conjunto finito e munido de uma
operação * que é associativa. Mostrar que se a
operação * satisfaz as duas leis do cancelamento, então (G,
* ) é um grupo.
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