Re: sem cálculo

[Ponce <ponce@xxxxxxxxxx>]

Olá amigos,
Mais uma sugestão para esse problema:
Usando o teorema de Bolzano, concluimos que sendo f  ( f = x^3
+2x + k ) contínua (pois f é polinomial), f(-1)=k-3<0
e f(1)=k+3>0,  há pelo menos uma raiz real de f 
no intervalo (-1,1), o que já foi  mencionado pelo Raph e outros.
Assim, resta-nos provar  que é única a  raiz
real de f neste intervalo.
Para isso, seja  a   uma 
das raízes( ou zeros)real  de f ,  no intervalo
(-1,1).
Da divisão( por exemplo, pelo dispositivo de Briot-Ruffini)
do polinomio f por (x - a ), obtemos a identidade:
f(x)  =  (x - a )Q(x)       
onde      Q(x)   =    
x^2 + a x + a ^2 + 2
Como o discrimante ( Delta) de Q(x) é  -3.(a
^2) - 8, ou seja, um número real negativo, para qualquer que seja
a
,
podemos concluir que  a  é a
única raiz real de f no intervalo (-1,1).

Portanto, f admite uma única raiz real no intervalo (-1,1).

Um abraço a todos e desculpe-me por qualquer erro.
PONCE
 

Ralph Costa Teixeira wrote:

        Hmmm.... sem cálculo fica mais feio... mas dá para fazer...

        Tome f(x)=x^3+2x+k. Eu imagino que no segundo grau ainda dê para usar
o Teorema de Bolzano: como f é contínua (polinomial), f(-1)=k-3<0 e
f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz em (-1,1).

        Mas se houver duas raízes distintas entre -1 e 1, digamos, a e b,
então

        a^3+2a+k=b^3+3b+k=0
        a^3-b^3+2a-2b=0
        (a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0

        Como supus raízes distintas, podemos cortar (a-b):

(*)     a^2+ab+b^2+2=0
        Mas como |a|,|b|<1, temos |ab|<1, e portanto
        a^2+ab+b^2+2 >= ab+2 > -1+2 = 1
        E temos uma contradição.

        (Ou: olhando (*) como uma equação quadrática em a,
delta=(b^2-4b^2-8)<0 e não há raízes; de fato, isto prova que
f(a)=f(b) implica a=b não só para raízes em (-1,1), mas para quaisquer
a e b na reta real; assim, isto prova que f é estritamente crescente)

        Abraço,
                Ralph

> Filho wrote:
>
> Caro Wellington no final do seu comentário, você usou recursos de
> cálculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta
> nada de cálculo.
> Grato pelo primeiro comentário, mas o que torna a questão diferente
> é exatamente não poder usar tais recursos. O problema
> continua....................
>
> Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto
> ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[.
>
> Seja f(x)=x^3+2x+k;
> Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo:
> para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[;
> para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[;
> ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao
> ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso
> garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo
> (Teorema de Bolzano).