Re: sem cálculo

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Hmmm.... sem cálculo fica mais feio... mas dá para fazer...

	Tome f(x)=x^3+2x+k. Eu imagino que no segundo grau ainda dê para usar
o Teorema de Bolzano: como f é contínua (polinomial), f(-1)=k-3<0 e
f(1)=k+3>0, há pelo menos uma raiz em (-1,1).

	Mas se houver duas raízes distintas entre -1 e 1, digamos, a e b,
então

	a^3+2a+k=b^3+3b+k=0
	a^3-b^3+2a-2b=0
	(a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0

	Como supus raízes distintas, podemos cortar (a-b):

(*)	a^2+ab+b^2+2=0
	Mas como |a|,|b|<1, temos |ab|<1, e portanto
	a^2+ab+b^2+2 >= ab+2 > -1+2 = 1
	E temos uma contradição.

	(Ou: olhando (*) como uma equação quadrática em a,
delta=(b^2-4b^2-8)<0 e não há raízes; de fato, isto prova que
f(a)=f(b) implica a=b não só para raízes em (-1,1), mas para quaisquer
a e b na reta real; assim, isto prova que f é estritamente crescente)
	
	Abraço,
		Ralph

> Filho wrote:
> 
> Caro Wellington no final do seu comentário, você usou recursos de
> cálculo. A questão foi de um vestibular que no programa não consta
> nada de cálculo.
> Grato pelo primeiro comentário, mas o que torna a questão diferente
> é exatamente não poder usar tais recursos. O problema
> continua....................
> 
> Mostre que a equação x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto
> ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[.
> 
> Seja f(x)=x^3+2x+k;
> Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo:
> para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[;
> para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[;
> ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao
> ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso
> garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo
> (Teorema de Bolzano).