Re: Questão

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Questão
>Date: Fri, 23 Jun 2000 07:56:35 -0300 (BRT)
[...]
>
>Minha única observação é que eu prefiro indexar Fibonacci por
>a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = 2, a_4 = 3,...
>Com isso temos as seguintes propriedades, que o leitor incansável
>poderá tentar demonstrar:
>
>a_{-n} = (-1)^(n+1) a_n
>m | n => a_m | a_n (onde m | n significa m é divisor de n)
>a_(mdc(m,n)) = mdc(a_m,a_n)
>a_(2n) = a_n(a_(n+1) + a_(n-1))
>a_(2n+1) = a_n^2 + a_(n+1)^2
>
>e, se
>
>     [0   1]
>A = [     ]
>     [1   1]
>
>então
>
>        [a_(n-1)  a_n    ]
>A^n =  [                ]
>        [a_n      a_(n+1)]
>
[...]
>
>[]s, N.
>

A última fórmula para A^n se prova facilmente por indução. O que quero 
acrescentar é que
A^(2n) = A^n * A^n (multiplicando essas duas últimas matrizes)
= [ a_(n-1)^2+a_n^2      a_n(a_(n-1)+a_(n+2)]
  [                                         ]
  [ a_n(a_(n-1)+a_(n+2)     a_n^2+a_(n+1)^2 ]
Donde vem facilmente que
a_(2n) = a_n(a_(n+1) + a_(n-1))
a_(2n+1) = a_n^2 + a_(n+1)^2
Pela fórmula do A^(2n)

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.
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