Re: Função Gama

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 12 Jun 2000, Orlando Peixoto de Morais wrote:

> "gama(s)=integral de 0 até infinito de t^(s-1).e^(-s)."


Parece haver um erro tipográfico aqui.
A definição correta seria
gamma(s) = integral de 0 a +infinito t^(s-1) e^(-t) dt

> Eu não entendi essa definição. Aparentemente, a função gama está definida de
> modo que, se quisermos saber gama(s), devemos tomar o gráfico de
> f(t)= t^(s-1)/(e^s) (s constante) e calcular a área entre ele e toda a
> metade positiva do eixo das abscissas. Ora, esta área não deveria convergir,
> não podendo então ser finita.
> 

Outra definição para a função gamma é

gamma(s) = lim_{n -> infinito} (n+m-1)! (n+m)^u / s(s+1)...(s+n-1)

onde s = m+u, m sendo a parte inteira e 0 <= u < 1.
Isto porque devemos ter

s(s+1)...(s+n-1) gamma(s) = gamma(s+n) = gamma(n+m+u)

E, para n grande,

gamma(n+m+u) ~= (n+m-1)! (n+m)^u.

Uma versão mais conceitual desta definição é que g(s) = log(gamma(s))
é a única função que satisfaz g(s+1) = g(s) + log(s), g(0) = 0 e
g''(s) > 0 para s real positivo suficientemente grande.

[]s, N.