Problema da OBM-92

["Alexandre Gomes" <alexsgom@xxxxxxxxxxx>]

   Em 1992 caiu na OBM um problema que achei muito interessante, mas estou 
tendo dificuldades para resolvê-lo.
   Segue:
   Prove que existe um natural n tal que a expansão decimal de n^1992 começa 
com 1992 algarismos iguais a 1.
   A minha idéia era a de tentar generalizar: será que existe um natural n 
tal que a expansão decimal de n^k começa com k algarismos iguais a p? Mas 
infelizmente não consegui encaminhar uma solução. Alguém pode me ajudar?
   Aproveitando a oportunidade, tenho dúvidas em outro problema. Este é da 
OBM-95:
   Dado que P(n) é o maior divisor primo do natural n, prove que existem 
infinitos n tais que P(n)<P(n+1)<P(n+2).
   Eu tenho a solução desta questão(infelizmente não posso ter acesso a ela 
agora), mas eu achei meio "mágica" e um pouco complicada. Não tenho certeza, 
mas acho que é a solução da banca. Será que alguém tem uma solução mais 
simples?
   Um abraço a todos!
        Alexandre S. Gomes.
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