Re: Problema usando derivadas

["Humberto Ferreira Vinhais" <hvinhais@xxxxxxxxxx>]

é só fazer a derivação impícita em relação a x:
logo temos y = f(x)
 ( x^2/3 + f(x)^2/3 )' = (1)'
2/3.x^(-1/3) + 2/3.y^(-1/3).y' = 0
y' = - x^(-1/3) / y^(-1/3)^= - ( y / x )^1/3

substituindido Xo e Yo e a equação da reta tangente: y - Yo = y' . (x -Xo),
temos:
y - Yo = -(Yo/Xo)^1/3 . (x -Xo)
==>>  y = -(Yo/Xo)^1/3 . x + ( Yo + Xo.(Yo/Xo)^1/3 ) do tipo Y = aX + b
a partir daí substitui-se nos pontos (A, 0) e (0, B), tem-se:

0 = - (Yo/Xo)^1/3 . A + ( Yo + Xo.(Yo/Xo)^1/3 ) .... Part I
B = - (Yo/Xo)^1/3 . 0 + ( Yo + Xo.(Yo/Xo)^1/3 ) .... Part II

Part I :
A= (Yo + Xo.(Yo/Xo)^1/3 ) / (Yo/Xo)^1/3  ...cortando (Yo/Xo)^1/3
A= Yo/(Yo/Xo)^1/3 + Xo = Yo.(Xo/Yo)^1/3 + Xo =
= Yo^2/3 . Xo^1/3 + Xo = Xo^1/3 . ( Yo^2/3 + Xo^2/3 )
e pela equação principal, temos (Yo^2/3 + Xo^2/3 ) = 1
logo A = Xo^1/3

Part II :
B= Yo + Xo.(Yo/Xo)^1/3 = Yo + Xo^2/3 . Yo^1/3=
= Yo^1/3 . (Yo^2/3 + Xo^2/3) e pela principal,
logo B = Yo^1/3

e jogando a equação da distância d^2 = A^2 + B^2

logo d^2 = Xo^2/3 + Yo^2/3 = 1
logo d^2 =1 ............  d=1
Portanto é idependente de Xo e Yo




>A reta tangente à curva [ x ^ (2/3) ] + [ y ^ (2/3) ] = 1 no ponto (Xo;Yo),
>Xo>0 e Yo>0, intercepta os eixos x e y nos pontos A e B, respectivamente.
>Mostre que a distância entre A e B não depende de (Xo;Yo).
>
>David
>