Re: Tres exercicios

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !

No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral -
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :

T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!)  )*( (1/3)^k )

Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:

T(k+1) = (65! /  (65 - k)!)  )*((1/ k!)* (1/3)^k )

Simplificando 65! com (65 - k)!  surgirao "k" fatores, desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator de
k!  (1*2*...*k) um "3"  de (1/3)^k, teremos o "k" fatores, a
saber:

(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)

Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :

65 - k + 1 < 3k

E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k > 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.

Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:

***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ).  K variando em {1,2,3,
... }  e N um natural fixo dado, nao nulo.  Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?

***

Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel. So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio e
voltar as minhas atividades normais ...

Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !


Paulo Santa Rita
6,2215,31032000





On Fri, 31 Mar 2000 14:11 +0000
alexv@esquadro.com.br wrote:
>>Le-se abaixo:
>>
>>Para que o termo seja máximo deve-se ter:
>> T(k+1)>=T(k)  e  b) T(k+1) >= T(k+2)
>>
>>Pergunta de um incredulo:
>>Por que isto garante que o termo de ordem de ordem k+3,
>por exemplo,
>>nao eh maior que o termo de ordem k+1?
>>Ser maior que os vizinhos garante que eh maior que todos?
>>
>>
>>
>JP,
>
>Antes de mais nada, a condição que impus foi que num
>desenvolvimento de um 
>binômio para um termo T(p+1) ser máximo, ele deverá ser
>maior ou IGUAL ao 
>termo anterior ( T(p) ) e também maior ou IGUAL ao termo
>posterior 
>( T(p+2) ). Essa é a condição que aprendi para que um
>termo de binômio 
>seja máximo.  Eu não disse que ele era simplesmente MAIOR
>que os vizinhos. 
>
>Quando fiz a questão me utilizei disso sem achar que fosse
>necessária um 
>prova formal (que na verdade eu não sei dar), uma vez que
>é o 
>comportamento do desenvolvimento de um binômio (há um
>crescimento dos 
>valores dos termos até chegar ao(s) termo(s) máximo(s) e
>em seguida há um 
>decrescimo dos valores).  Entretanto, analisando (1+1/3)^n
>(n=4,5,6,7,8) 
>verifiquei que o comportamento se mantém, ou seja a
>condição que impus 
>continua válida, como aliás, acredito que vale em todo
>binômio não é?
>
>Alguém sabe de uma explicação melhor ?
>
>[]'s
>Alexandre Vellasquez

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