Re: interessante

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 21 Mar 2000, José Fabrício Maia wrote:

> Colegas gostaria de saber como se mostra que raiz quadrada de 2 elevado a raiz quadrada de 2 é irracional.
> 
> 
> plutao@secrelnet.com.br
> 
> 

É possível (mas improvável) que este exemplo que você deu admita solução
mais simples. Mas segue do seguinte teorema:

Teorema:
Se a e b são algébricos, a diferente de 0 ou 1 e b irracional
então a^b é transcendente.

Um número complexo z é dito algébrico se existirem inteiros
a_n, a_{n-1}, ..., a_0 não todos nulos com
a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_0 = 0.
Um número complexo z é dito transcendente quando não é algébrico.
É um fato de demonstração relativamente simples que somas, produtos
e inversos de números algébricos são algébricos.

A demonstração do teorema acima encontra-se no livro do Niven
(Rational and irrational numbers, talvez) mas saiba que é difícil.

[]s, N.