Num triangulo obtusângulo ABC (com angulo
obtuso em A). De A traça-se uma
ceviana AD, com D pertencente a BC, tal que
CD=x e DB=1. O angulo CAD=90º,
e o angulo DAB=30º. O lado CA=1.
Calcule x.
Primeira Solução
Seja E a projeção ortogonal de
B sobre a reta suporte do lado AC.
Nestas condições , teremos AD//BE,
conseqüentemente
- o triângulo AEB será retângulo
em E com ângulo EAB medindo 60º,
donde
conclue-se que BE = EA.tg(60º).
......(I)
- do teorema de tales, podemos escrever
EA/AC = BD/DC , de onde
obtemos EA = 1 / x
..... (II)
- o triângulo BEC será retângulo
em E .Assim,do Teorema de Pitagoras
segue-se que BC^2 = BE^2
+ EC^2 .....(III)
Por outro lado, de (I), (II) e (III) resulta:
(x+1)^2 = [ (1/ x)tg(60º) ]^2 + ( 1 + 1/ x )^2
desenvolvendo, encontra-se
(x^3).( x+2 ) = 2.( x+ 2)
Portanto, como x+2 é diferente de zero,
tem-se x^3 = 2, ou seja,
x= 2^(1/3).
Segunda Solução
Seja AB = a
Do triângulo retângulo DAC, podemos escrever sen(ADC)
= AC/DC = 1/ x (I).
Do triângulo ADB e do Teorema dos Senos,obtem-se:
a / sen(ADB) = DB / sen(30º). Como os ângulos
ADB e ADC são suplementares,
obtem-se ainda, a / sen(ADC)
= DB / sen(30º). Substituindo o
resultado
encontrado em (I), encontraremos
ax = 2 (II).
Do triângulo ABC e do Teorema dos cossenos, resulta
(1+x)^2 = a^2 + 1 - 2acos(120º),
desenvolvendo e simplificando, chegamos em
x^2 + 2.x = a.(a + 2) (III)
Por outro lado, podemos escrever, de (II): 2.x =
a.(x^2). Observando que a+2 é
diferente de zero,obteremos de (III) x^2 =
a , ou ainda x^3 = a.x = 2.
Portanto, nestas condições tem-se
x = 2^(1/3).
PONCE
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