Re: Limite

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Prof Marcos,
Saudacoes !

A questao que o Sr propos pode sair por uma dupla aplicacao do teorema do 
confronto, um tema que e abordado no 2 grau e que portanto e acessivel a seu 
aluno. Conforme o Sr deve saber, se, atendidas determinadas condicoes:

Teorema do confronto:

Atendidas determinadas condicoes:
e se:
F(x) < G(x) < H(x)

e lim F(x) = L e Lim H(x) = L entao Lim G(x) = L

Os limites devem ser para a mesma variavel e as funcoes devem atender 
algumas exigencias.

Seja B= (x - tgx)/(senx - x), sua funcao. Entao:
B = (tgx - x)/(x - senx) = tgx/(x - senx)  -  x/(x - senx)
B = tgx/(x - senx)  +   x/(senx - x)

mas, olhando para o ciclo trigonometrico, sabemos que:

senx + cosx < 1 => senx < 1 - cosx  ( desigualdade 1 )

senx + ( 1 - cosx ) < x => x - senx > 1 - cosx

Logo : x > x - senx > senx para 0 < x < pi/2
( Veja o Sr mesmo para x < 0 )

Assim :

x > x - senx > senx => tgx/x < tgx/(x - senx) < tgx/senx
como lim tgx/x = 1 e lim tgx/senx = 1 entao:

lim tgx/(x - senx) = 1

( aplique o Sr mesmo x > x - senx > senx em x/( senx - x) conforme apliquei 
acima para tgx/(senx - x). O Sr chegara ao mesmo resultado.) Assim

lim B = Lim tgx/(x - senx)  +  Lim x/(senx - x)
lim B = 1 + 1 = 2

Toda questao sobre limites, trivial porem nao direta, tal como a sua, se 
resolve por :

1) por combinacao de limites basicos
Por ex: lim( 1 + raiz2(1 - senx) + raiz2(1 + senx) )/x,  x -> 0


2) por substituicao de infinitesimos
Por ex: lim ( e^x + x )^(1/x), x -> 0

3) pelo teorema do confronto
Por ex: sua questao

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,1100,291099





>From: "Marcos Paulo" <mparaujo@uninet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "lista obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Limite
>Date: Mon, 25 Oct 1999 00:04:25 -0200
>
>Gostaria que me ajudassem nessa:
>
>Um aluno me pediu para que eu calculasse o seguinte limite:
>
>Lim    (x  - tg x)/(senx - x) .
>x-->0
>
>Na hora resolvi usando a regra de L'Hospital e encontrei 2 que é a 
>resposta.
>Em casa fui pensar em como  faria a questão sem usar a regra de L'Hospital.
>Sem sucesso resolvi pedir ajuda e ninguém conseguiu resolver sem usar a 
>regra de L'Hospital. Se alguém conseguir algum artifício algébrico me 
>avise!
>
>Obs.: Essa questão encontra-se na coleção Fundamentos da Matemática 
>Elementar volume 8 na seção de testes.
>
>Obrigado pela atenção,
>
>Marcos Paulo

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