Re: Números primos

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, Divaldo.

	Essa eu acho que sei responder (se bem que o Nicolau e o Gugu
provavelmente sabem mais disso do que eu).

	Seja Pi(n) o número de primos entre 1 e n (inclusive). Assim:

	Pi(1)=0; Pi(2)=1; Pi(3)=Pi(4)=2; Pi(5)=Pi(6)=3;
	Pi(7)=Pi(8)=Pi(9)=Pi(10)=4;
	Pi(1000)=168; Pi(100000)=9592; Pi(10^16)=279238341033925

	Olhando para os valores de f(x)=x/ln(x), por exemplo:

	f(10)=4.3; f(1000)=144.9; f(100000)=72.464;
	f(10^16)=271434051189532

Legendre, em 1798 e Gauss, em 1849, sugeriram (sem conseguir provar) que

	Pi(n) / (n/ln(n)) -> 1 quando n->+INF

	(Bom, eles devem ter olhado para alguns valores de n e x muito menores
dos que os que eu falo acima; ln acima é o logaritmo natural, base e)

	Em 1851 Chebyshev provou que o único limite possível era 1, mas não
provou que o limite existia. Usando idéias de Riemann, Hadamard
finalmente conseguiu provar a fórmula acima em 1896. Em 1949, Selberg
and Erdös deram uma prova "elementar" do teorema, isto é, usando somente
cálculo. Eu não conheço esta prova, mas entendo que ela é bem
complicada, mais do que as provas supostamente "não elementares".

	Portanto, se você perguntar "Escolha um número aleatoriamente entre 1 e
N; qual a probabilidade dele ser primo?", a resposta é:

	Pi(N) / N ~= 1/ln(N)

	(no sentido que a divisão vai para 1)

	Uma probabilidade bem pequena, de fato, se N é grande.

	Abraço,
		Ralph	
	
Divaldo Portilho Fernandes Júnior wrote:
> 
>   Gostaria que me ajudacem com o seguinte problema:
> 
>   **Dado que os números primos são infinitos, qual a probabilidade de um
> número enorme ser primo? E quantos primos existem antes dele?