Re: Outra Bijeção e Euclid

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 16 Sep 1999, Dopelgänger wrote:

> Alguém poderia me mostrar geometricamente uma bijeção entre os pontos de
> uma reta e os pontos de um plano?

Mostrar geometricamente é difícil: qualquer tal bijeção é mal comportada.
É possível construir uma tal bijeção olhando para as expansões decimais:
tome os algarismos em posições pares para formar a coordenada x
e os algarismos em posição ímpar para formar a coordenada y.
Assim, 

0.567230943248671239875... |-> (0.6204287297...,0.57393461385...)

(se eu não errei, fiz o exemplo no olho e na mão)

O leitor astuto deve ter percebido que temos problemas com números
que admitem mais de uma expansão decimal, como
0.2000000... = 0.1999999... que por esta regra é levado ao mesmo
tempo em (0, 0.2) e em (0.9999999..., 0.19999999...) = (1, 0.2).
É portanto necessário fazer pequenas correções.

Talvez mais surpreendente, existe funções contínuas e sobrejetoras
de [0,1] em [0,1]x[0,1]. Uma função deste tipo pode ser construida
assim: dividimos o quadrado em nove quadradinhos assim:

ABC
DEF
GHI

e agora decretamos que no intervalo [0,1/9] a função leva em A,
no intervalo [1/9,2/9] a função leva em B, depois em C,
depois F, E, D, G, H e I (atenção com a ordem!).
Depois subdividimos cada quadradinho pelo mesmo processo,
apenas refletindo nos eixos x e y conforme necessário.
A ordem em que os 81 quadradinho é corrida é:

00 01 02 15 16 17 18 19 20
05 04 03 14 13 12 23 22 21
06 07 08 09 10 11 24 25 26
47 46 45 44 43 42 29 28 27
48 49 50 39 40 41 30 31 32
53 52 51 38 37 36 35 34 33
54 55 56 69 70 71 72 73 74
59 58 57 68 67 66 77 76 75
60 61 62 63 64 65 78 79 80

Observe que sempre nos movemos de um quadradinho para um vizinho.
Continuando o processo da forma natural, temos a função desejada.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau