Re: Bijeção

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: Dopelgänger <paleo@jpnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 1 de Setembro de 1999 09:25
Assunto: Re: Bijeção


>> Exercicio 1:
>> Considere S={ 0; 1; 1/2; 1/3; 1/4; ...}. Defina f de [0;1] em ]0;1[ por:
>> Se x nao pertence a S, entao f(x)=x.
>> f(0)=1/2;  f(1)=1/3;  f(1/2)=1/4;  f(1/3)=1/5; etc.
>> Mostre que f eh uma bijecao de [0;1] sobre
>> ]0;1[
>
>Acho que eu sei justificar a bijeção, mas não muito bem em
>"matematiques"...
>
>Para todo x e y distintos pertencentes a [0;1], mas não pertencentes a S,
>f(x) diferente de f(y).

[Claro, pois f(x)=x diferente de y=f(y).]

>E ainda, f(x) e f(y) nao pertencem a S.

[Este comentario, nao entendi a finalidade.]

>Para todo z e w distintos pertencentes a S e a [0;1], f(z) diferente de
>f(w) (Pela própria definição)

Correto.

e f(z) e f(w) pertencem a S.
[Novamente, nao vejo porque este comentario.]

>Isso, eu acho, justifica a injeção.
>
[De fato.]

>Como para todo y em ]0;1[  existe x em [0;1] tal que f(x) = y... f é uma
>sobrejeção.
>Não dá pra provar isso, dá? É uma questão de olhar e ver que é assim, não
>é?

Dado y em ]0;1[  , se y nao pertence a S, tome x=y, e teremos y=f(x).
Se y pertence a S, entao y eh da forma 1/n, com n>1.  Se n=2, tome
x=0 em [0;1], e se tem f(x)=1/2. Se n=3, tome x=1 em [0;1], e se tem
f(x)=1/3. Se n>2, tome x=1/(n-2), e se tem f(x)=1/n.
Isto prova que f eh sobrejetiva.

>
>> Exercicio 2:
>> Defina g de ]0;1[ em R por:
>> g(x)= (2x-1)/(1-abs(2x-1)), onde abs(t) eh o valor absoluto de t.
>> Mostre que f eh uma bijecao de  ]0;1[ sobre R.
>
>Pra mim, é muito mais fácil visualizar e aceitar uma bijeção de ]0;1[ nos
>Reais do que uma do [0;1] nos Reais. Com voces ocorre o mesmo?
>
>abs = módulo, certo?
>
>Vou esperar comentários sobre o problema de cima antes de me aventurar
>neste...
>
>Enquanto isso. Uma piada sobre Matema...
>
>A mathematician, a biologist and a physicist are sitting in a street cafe
>watching people going in and coming out of the house on the other side of
>the street.
>
>First they see two people going into the house. Time passes. After a while
>they notice three persons coming out of the house.
>
>The physicist: "The measurement wasn't accurate."
>The biologist: "They have reproduced".
>The mathematician: "If now exactly one person enters the house then it will
>be empty again."
>
>
>Até o futuro...
><Bruno>
>
>