Re: Bijeção

["Dopelgänger" <paleo@xxxxxxxxxxxx>]

> Exercicio 1:
> Considere S={ 0; 1; 1/2; 1/3; 1/4; ...}. Defina f de [0;1] em ]0;1[ por:
> Se x nao pertence a S, entao f(x)=x.
> f(0)=1/2;  f(1)=1/3;  f(1/2)=1/4;  f(1/3)=1/5; etc.
> Mostre que f eh uma bijecao de [0;1] sobre
> ]0;1[

Acho que eu sei justificar a bijeção, mas não muito bem em
"matematiques"... 

Para todo x e y distintos pertencentes a [0;1], mas não pertencentes a S,
f(x) diferente de f(y).
E ainda, f(x) e f(y) nao pertencem a S.
Para todo z e w distintos pertencentes a S e a [0;1], f(z) diferente de
f(w) (Pela própria definição) e f(z) e f(w) pertencem a S. 
Isso, eu acho, justifica a injeção.

Como para todo y em ]0;1[  existe x em [0;1] tal que f(x) = y... f é uma
sobrejeção. 
Não dá pra provar isso, dá? É uma questão de olhar e ver que é assim, não
é?

> Exercicio 2:
> Defina g de ]0;1[ em R por: 
> g(x)= (2x-1)/(1-abs(2x-1)), onde abs(t) eh o valor absoluto de t.
> Mostre que f eh uma bijecao de  ]0;1[ sobre R.

Pra mim, é muito mais fácil visualizar e aceitar uma bijeção de ]0;1[ nos
Reais do que uma do [0;1] nos Reais. Com voces ocorre o mesmo?

abs = módulo, certo?

Vou esperar comentários sobre o problema de cima antes de me aventurar
neste...

Enquanto isso. Uma piada sobre Matema...

A mathematician, a biologist and a physicist are sitting in a street cafe
watching people going in and coming out of the house on the other side of
the street.

First they see two people going into the house. Time passes. After a while
they notice three persons coming out of the house.

The physicist: "The measurement wasn't accurate."
The biologist: "They have reproduced".
The mathematician: "If now exactly one person enters the house then it will
be empty again."


Até o futuro...
<Bruno>