Re: Re: número algébrico

[alexv@xxxxxxxxxxxxxxx]

>
>>       Como faço para mostrar que o seno de um grau é um número
>>algébrico?
>
>É possível achar sen36 e cos36***.  Como vc sabe sen30 e cos30, pelas 
>fórmulas sen(36-30)=sen36 cos30 - sen30 cos36 e cos(36-30)=cos36 cos30 + 
>sen30 sen36   vc pode achar sen6 e cos6.
>
>Usando arco metade, pode-se achar sen3 e cos3 (são radicais enormes)
>
>Agora, use o arco triplo para forçar uma equação em sen1 ou cos1. É 
claro, 
>será de 3º grau.
>
>Eu não tive a coragem de fazer as contas, mas depois de tudo isso, se vc 
>manipular a equação, vai cair numa equação em sen1 ou cos1, com 
coeficientes 
>inteiros.(o que mostra que sen1 é algébrico)
>
>***sobre sen36 e cos36
>


Bruno e Carlos,
Eu ontem mandei essa nota mas, como o Nicolau falou que algumas mensagens 
foram perdidas, vou repetir:

Um ex-professor me deu a seguinte idéia sobre o problema do sen1º e cos1º: 
"Utilize o cosseno do arco dobro em função do cosseno do arco metade"

Seja cos1º=x, então

cos2º=2x^2-1
cos4º=2(2x^2-1)^2-1
cos8º=2(2(2x^2-1)^2-1)^2-1
cos16º=2(2(2(2x^2-1)^2-1)^2-1)^2-1  (i)
mas,
cos16º=cos(15º+1º)=
=[(sqrt(6)+sqrt(2))/4].x - [(sqrt(6)-sqrt(2))/4].sqrt(1-x^2)  (ii)

fazendo (i)=(ii), reagrupando, elevando ao quadrado, enfim fazendo todas 
essas coisinhas  acho que se chega lá (eu fiquei com preguiça de 
desenvolver tudo), isto é, dá pra mostrar que cos1º é algébrico.

Acredito que raciocínio análogo possa ser usado para o sen1º.

[]'s e saudações (TRICOLORES, claro!!!)
Alexandre Vellasquez