Re: Prova do IME

["Bruno Leite" <superbr@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Marcos Paulo" <mparaujo@uninet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "lista obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Prova do IME
>Date: Fri, 19 Nov 1999 01:41:37 -0200
>
>Questão da prova do IME:
>
>Expressar por um polinomio de grau três a soma dos n primeiros quadrados 
>perfeitos.
>
>Ora, como todos sabemos a resposta é simples: 1 + 2^2 + ... + n^2 
>=n(n+1)(2n+1)/6
>e pode ser encontrada facilmente fazendo utilizando-se da diferença de 
>cubos, a saber, (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 +3n +1. Daí fazemos:
>1^3 = 1
>2^3 - 1^3 = 3.1^2 + 3.1 + 1
>3^3 - 2^3 = 3.2^2 + 3.2 + 1
>.............= ......................
>(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 +3n +1
>
>
>somando - se os membros temos a fórmula desejada:
>Se S = 1 + 2^2 + ... + n^2 , temos:
>
>(n+1)^3 = 3.S + 3 (1+n)*n/2 +(1+n)  e daí por diante.
>
>Pois bem. Os quadrados perfeitos formam o q chamamos PA de segunda ordem ( 
>as diferenças entre os termos formam uma PA).
>Minhas perguntas são as seguintes:1) Há alguma maneira de encontrar em 
>função de n e do primeiro termo a soma de uma PA de ordem 3 - note que a 
>resposta é afirmativa no caso da sequencia formada pelas somas dos 
>quadrados (verifique que essa sequencia é uma PA de ordem 3, ou seja as 
>diferenças das diferenças estão em PA) - e uma PA de ordem n??? há 
>generalização para sua soma?
>2) Ouvi um teorema há muito tempo que dizia que  "A soma dos termos de uma 
>PA de ordem n é sempre um polinômio de grau n+1". É verdade? alguém conhece 
>a demonstração desse teorema???
>
>Obrigado pela atenção!
>
>Marcos Paulo F. Araujo

Caro Marcos,

Um integrante desta lista, Paulo Santa Rita, escreveu um email-artigo 
justamente sobre este assunto. Trata-se de um e-mail bastante útil e 
responde às suas perguntas.

A resposta da sua primeira pergunta é não. São necessários 4 números para 
caracterizar uma PA de ordem 3 (em paulosantaritês, uma PA3). Em geral, 
precisamos de n+1 números para caracterizar uma PAp.(podem ser o n+1 
primeiros termos ou as n+1 "razões" - eu explicarei melhor quando eu voltar 
da escola)


"precisamos de n+1 números para caracterizar uma PAp"
Um modo fácil de ver isso é assim.
Considere a PA3 abaixo

(pa1)    2  4  6  8
(pa2)  1  3  7  13 21
(pa3)12 13 16 23 36  57

Suponha que vc tem uma Pa2 e quer formar uma pa3. É claro que vc vai ter que 
escolher um parametro, por exemplo o primeiro termo da pa3. assim, com os 
dados da pa2 mais um número, uma pa3 está perfeitamente caracterizada. Como 
para caracterizar uma pa1 precisamos de 2 numeros (a1 e r , por ex.), o 
resultado segue por indução, embora para uma prova rigorosa eu acho que 
precisamos de mais cuidados, principalmente na definição de parametros



Quanto à segunda pergunta, pelo que me lembro ela também está respondida 
naquele e-mail (acho que chama-se "considerações aritméticas") e a resposta 
é sim. Se vc não guardou aquele email, eu posso te mandar, ou o próprio 
Paulo Santa Rita poderia fazê-lo.


Bruno Leite


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