Monodromia

Considere primeiro o exemplo prototípico de transporte paralelo, a EDO matricial

$$\frac{dW}{dt}=A(t)W(t)$$

com condição inicial W(0)=I (identidade). A(t) é uma função suave do intervalo [0,1] nas matrizes reais $N \times N$. Existe uma única solução (suave) W(t). Transporte paralelo leva um N-vetor v no vetor W(1)v.

Numa variedade M podemos definir transporte paralelo ao longo de caminhos suaves em M usando uma 1-forma em M com valores matriciais. A forma $\Omega$ consiste de aplicações lineares dos espaços tangentes de M nas matrizes $N \times N$. Dado um caminho $\sigma:[0,1] \to M$, temos a equação

$$\frac{dW}{dt}=\Omega(\frac{d\sigma}{dt})W(t)$$

com condição inicial W(0)=I.

Seja $T_\sigma$ a matriz inversivel W(1) (transporte paralelo ao longo de $\sigma$). Se $\sigma$ e $\tau$ são caminhos em M tais que $\sigma(0)=\tau(1)$ então o caminho $\sigma \tau$ é definido por $\tau(2t)$ para $0 \le t \le 1/2$ e $\sigma(2t-1)$ para $1/2 \le t \le 1$. Pela unicidade de soluções de EDO's, temos que $T_{\sigma \tau} = T_{\sigma} T_{\tau}$.

Se a 1-forma é plana (flat) então pequenas variações do caminho, fixando os pontos iniciais e finais não afetam $T_\sigma$. Em outras palavras, $T_\sigma$ é invariante por homotopias do caminho $\sigma$ que fixam $\sigma(0)$ e $\sigma(1)$. Obtemos assim um homomorfismo (a monodromia) do grupo fundamental de M nas matrizes $N \times N$ inversíveis.

No artigo [KZ], os físicos Knizhnik e Zamolodchikov definiram uma conexão plana em C_n pela fórmula

$$\frac{1}{2 \pi i}\sum_{i<j} \frac{dz_i-dz_j}{z_i-z_j} A_{ij}$$

onde, para $1 \le i < j \le n$, os A_ij são matrizes constantes complexas $N \times N$ que satisfazem as relações

• [A_ij,A_kl]=0 se i,j,k,l sao distintos
• [A_ij,A_jk] = [A_jk,Aik] = [A_ik,A_ij] onde i<j<k.

Aqui, [A,B] significa o colchete AB-BA.

Estas relações e propriedades das formas $(dz_i-dz_j)/(z_i-z_j)= d \log(z_i-z_j)$ garantem que a conexão é plana, ou seja que a 2-forma de curvatura da conexão é identicamente nula. A verificação deste fato pode ser encontrada no livro [Ka], capítulo XIX.

Voltando à situação geral, o transporte paralelo $T_\sigma$ pode ser visto como limite de produtos de matrizes. Considere primeiro a equação

$$\frac{dW}{dt}=A(t)W(t).$$

Temos que

$$W(t+\Delta t)-W(t) \approx \Delta t A(t)W(t)$$

ou seja

$$W(t+\Delta t) \approx [I+\Delta t A(t)]W(t).$$

Então W(1) deveria ser o limite quando $m \to \infty$ do produto

$$(I+\Delta t_1 A(t_1)) (I+ \Delta t_2 A(t_2)) \cdots (I+ \Delta t_m A(t_m))$$

onde $1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0$e $\Delta t_1 = 1-t_1, \Delta t_2 = t_1 - t_2, \cdots$. Este produto pode ser re-escrito na forma

$$I+\sum _i \Delta t_i A(t_i)+ \sum_{i<j}\Delta t_i \Delta t_j A(t_i)A(t_j)+ \cdots$$

ou seja

$$W(1)=I+\int A(t_1)dt_1 + \int\int A(t_1) A(t_2) dt_1 dt_2 + \cdots,$$

os limites de integração no termo geral sendo $1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0$ (ou seja $(t_1,t_2, \cdots ,t_m)$ pertence a um simplexo aberto apropriado). Por exemplo, para A constante, é fácil verificar que o resultado é $I+A+A^2/2+ \cdots = \exp(A)$, como deveria ser.

No caso da conexão KZ, a fórmula para o transporte paralelo é

$$I + \frac{1}{2 \pi i} \int \sum _{i<j} dl_{ij}(t_1)A_{ij} + ... ...i<j}\sum_{k<l} dl_{ij}(t_1) dl_{kl}(t_2) A_{ij} A_{kl}+ \cdots$$

onde $l_{ij}(t) = \log(z_i(t) - z_j(t))$.

Se b é uma trança, a cada produto $A_{ij}A_{kl} \cdots A_{uv}$ (de m fatores) corresponde um conjunto de m pares de pontos em b (um par para cada t_i)

$$\begin{matrix} (z_i(t_1),t_1),(z_j(t_1),t_1) \\ (z_k(t_2),... ...2) \\ \cdots \\ (z_u(t_m),t_m),(z_v(t_m),t_m) \end{matrix}$$

onde $1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0$. Este é um exemplo de um diagrama em b. O invariante será definido re-escrevendo a fórmula $I+\cdots$ acima em termos de diagramas.