Tranças

Será conveniente representar o espaço tridimensional como ${\mathbb{C} }\times {\mathbb{R} }$ com coordenadas (z,t) onde z=x+iy e $t \in {\mathbb{R} }$. Sejam $z_1, z_2, \ldots, z_n$ aplicacões suaves do intervalo [0,1] em ${\mathbb{C} }$tais que os gráficos dos z_j(ou seja as curvas (z_j(t),t) em ${\mathbb{C} }\times [0,1]$) são disjuntas e encontram os planos ${\mathbb{C} }\times 0$ e ${\mathbb{C} }\times 1$em $\{1,2, \ldots,n\} \times 0$ e $\{1,2,\ldots, n\}\times 1$. Uma n-trança é uma união (disjunta) de n tais gráficos (os fios da trança). Cada fio liga um ponto (j,0) a um ponto (S(j),1) onde $j=1,2,\ldots,n$ e S é uma permutacão de $\{1, 2, \ldots, n\}$. Por exemplo, a 2-trança $\sigma_1$ é dada por

$$z_1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}e^{\pi i t}, \qquad z_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}e^{\pi i t}.$$

Mais geralmente, na trança $\sigma_j$, dois dos fios são dados por

$$\frac{2j+1}{2} \pm \frac{1}{2} e^{\pi i t},$$

os outros fios sendo todos verticais (ou seja da forma $j \times [0,1]$).

Se b_s é uma família contínua de tranças, onde $s \in [0,1]$ então as tranças b₀ e b₁ são chamadas de equivalentes.

Se b e c são duas tranças, onde b é definida por $w_1,w_2, \ldots ,w_n$e c é definida por $z_1, z_2, \ldots, z_n$ então o produto bc é a trança definida por z_j(2t) se $0 \le t \le 1/2$ e por w_j(2t-1) se $1/2 \le t \le 1$. Em outras palavras, b e c são comprimidos por um fator 1/2 na direção t é então b é colocada em cima de c.

A inversa b^-1 de uma trança b é obtida refletindo b no plano ${\mathbb{C} }\times 1/2$, ou seja usando as funções z_j(1-t) no lugar de z_j(t).

As classes de equivalência das n-tranças formam um grupo B_n com elemento neutro a trança cujos fios são todos verticais. A demonstração (bastante trabalhosa) de que B_n é um grupo lembra a demonstração de que o grupo fundamental é um grupo. De fato, B_n é o grupo fundamental do espaço X_n das configurações de n partículas (não ordenadas) no plano. Mais precisamente, se C_n é o aberto de ${\mathbb{C} }^n$ que consiste de todos os $(z_1,z_2, \ldots ,z_n)$ tais que $z_i \neq z_j$ se $i \neq j$ então X_n é o quociente de C_n pela ação do grupo simétrico S_n. O ponto base de X_n é $\{1, 2, \ldots, n\}$ e as funções z_i(t) que definem uma n-trança também definem um caminho $\{z_1(t), \ldots , z_n(t)\}$ em X_n com pontos iniciais e finais iguais ao ponto base.

O grupo B_n é gerado por $\sigma_1,\sigma_2, \ldots ,\sigma_{n-1}$. As relações $\sigma_i \sigma_j= \sigma_j \sigma_i$ (se $\vert i-j\vert \neq 1$) e $\sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1}$ podem ser facilmente verificadas e, de fato, toda relação entre os geradores $\sigma_i$ é conseqüência destas relações.

Todo nó em ${\mathbb{R} }^3$ é equivalente a (isto é, pode ser deformado continuamente em) um nó que sempre gira na mesma direção em torno de um determinado eixo (teorema clássico de Alexander, que vale também para enlaçamentos, ou seja nós com mais que uma componente conexa). É fácil deduzir que todo nó ou enlaçamento orientado é equivalente ao fecho de uma trança. O fecho de uma n-trança é o nó ou enlaçamento obtido unindo as extremidades da trança por n curvas disjuntas no plano y=0. Alternativamente, o fecho pode ser visto como a imagem da trança pela aplicação de ${\mathbb{R} }^2 \times [0,1]$ em ${\mathbb{R} }^3$ que leva o ponto (x,y,t) em (x,y,u) onde $u+iv = e^{2\pi(x+it)}$.

Para cada nó existem infinitas tranças cujos fechos são equivalentes ao nó. Por exemplo, se b₁ e b₂ são duas tranças é fácil ver que os fechos de b₁b₂ e b₂b₁ são equivalentes como nós. Outro exemplo: se a n-trança b está contida em $\{x \le n\}$ então a união de b com o fio vertical $n+1 \times [0,1]$ é uma n+1-trança $b^\ast$ e os fechos de $b^+=\sigma_n b^\ast$ , $b^-=\sigma_n^{-1} b^\ast$ e b são todos equivalentes como nós.

Se I(K) é um invariante de nós (isto é: I(K)=I(L) se K e L são equivalentes) então o valor de I é igual para os fechos de b, b⁺ e b^-. A recíproca também vale (Teorema de Markov). Seja J(b) um invariante de tranças (isto é J(b₁)=J(b₂) se b₁ e b₂ são equivalentes como tranças). Se (Markov I) para todas n-tranças c₁ e c₂ temos J(c₁ c₂)=J(c₂ c₁) e (Markov II) para toda n-trança b contida em $\{x \le n\}$ temos que J(b⁺)=J(b)=J(b^-) então J define um invariante I de nós pela regra $I(\operatorname{fecho}(b))=J(b)$.

Uma maneira de se construir invariantes de tranças é usando transporte paralelo, como segue.