Re: _problema_-_Função_Gama_aplicada_às _matrizes

[albert bouskela <albert.bouskela@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Nicolau C. Saldanha wrote:
> 
> On Wed, 7 Jul 1999, albert bouskela wrote:
> 
> > > > É necessário verificar se a postulação proposta para generalizar a
> > > > aplicação da função Gama às matrizes atende à principal propriedade
> > > > desta função:
> > > >
> > > > L{t^n} = [Gama(n+1)]/[s^(n+1)]  ,  n > -1 ,
> > > >
> > > > sendo L a transformada de Laplace.
> > > >
> > > > Rapidamente, parece-me q. não. É por isso q. a atenção ao rigor
> > > > matemático é necessária.
> 
> De novo, nada disso tem absolutamente nada a ver com "rigor matemático".
> Estranho muito esta insistência exagerada em dizer que o domínio da função
> fatorial "é" o conjunto dos naturais, como se a função fatorial fosse
> parte de uma revelação divina e nós não pudéssemos escolher para ela o
> melhor domínio e a melhor definição. Parece quase idolatria: transformar
> em sagrada, eterna e imutável uma definição criada cinco minutos antes.
> 
> Mesmo assim a questão é interessante: eu sugeri que poderíamos definir
> fatorial em classes ainda mais amplas de objetos (do que C), por exemplo
> para matrizes. Bem, que *podemos* definir A! onde A é uma matriz é um fato
> banal e desinteressante; podemos por exemplo calcular o fatorial de
> cada entrada da matriz, ou fazer algo ainda mais bobo e dizer que
> A! = 0 para toda matriz A. Estas definições não são divinamente proibidas,
> nem pouco "rigorosas": elas são apenas desinteressantes porque não têm
> nenhuma propriedade não trivial, não nos ensinam nada nem sobre matrizes
> nem sobre a função fatorial.
> 
> Consideremos a definição usual de exponencial de uma matriz:
> se A é uma matriz complexa quadrada definimos
> 
> exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + A^4/4! + ...
> 
> Por que esta definição é interessante? Ela *não* satisfaz
> várias propriedades usuais da exponencial, por exemplo, não
> é verdade em geral que
> 
> exp(A+B) = exp(A) exp(B);
> 
> isto só é verdade se A e B comutam (i.e., se AB = BA),
> em geral temos
> 
> exp(A+B) = lim (exp(A/n) exp(B/n))^n
> 
> Assim, quando tornamos um conceito mais geral temos que aceitar
> o fato que algumas das propriedades do caso mais simples não valem
> mais, ou só valem em uma versão mais complicada.
> 
> Voltando à função fatorial, sua principal propriedade a meu ver é
> 
> (n+1)! = (n+1) n!
> 
> e apesar de não ter dito *qual* definição de A! estou propondo,
> adianto que é sempre verdade que
> 
> (A+I)! = (A+I) A! = A! (A+I)
> 
> onde I é a matriz identidade. Mas o Albert tem todo o direito de ter
> outra opinião quanto a qual a propriedade mais interessante da função
> fatorial (ou gama, com a devida troca de variáveis): a propriedade
> favorita dele parece ser
> 
> L{t^n} = [Gama(n+1)]/[s^(n+1)]  ,  n > -1 ,
> 
> sendo L a transformada de Laplace. Ou seja,
> 
> int_0^infty exp(-st) t^n dt = n! s^(-n-1)
> 
> se trocamos n por uma matriz quadrada A nossa primeira dificuldade é
> definir t^A; minha sugestão seria definir
> 
> t^A = exp(A log(t))
> 
> Podemos agora usar a identidade acima para definir A!,
> pelo menos quando a integral convergir.
> Esta definição coincide com a que eu tinha em mente nestes casos.
> Depois escrevo outra mensagem explicando melhor estas definições.
> 
> []s, N.
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau


Embora eu não me considere um idólatra, seja do q. for - ou quase isso,
como v. coloca ou prejulga - aguardo as suas ulteriores ponderações a respeito de

A! , sendo A uma matriz quadrada.

Sds., absolutamente cartezianas (no sentido proposto por R. Descartes em seu
"Discurso sobre o Método"),

Albert.