Re: problema - Função Gama aplicada às matrizes

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 7 Jul 1999, albert bouskela wrote:

> > > É necessário verificar se a postulação proposta para generalizar a
> > > aplicação da função Gama às matrizes atende à principal propriedade
> > > desta função:
> > >
> > > L{t^n} = [Gama(n+1)]/[s^(n+1)]  ,  n > -1 ,
> > >
> > > sendo L a transformada de Laplace.
> > >
> > > Rapidamente, parece-me q. não. É por isso q. a atenção ao rigor
> > > matemático é necessária.

De novo, nada disso tem absolutamente nada a ver com "rigor matemático".
Estranho muito esta insistência exagerada em dizer que o domínio da função
fatorial "é" o conjunto dos naturais, como se a função fatorial fosse
parte de uma revelação divina e nós não pudéssemos escolher para ela o
melhor domínio e a melhor definição. Parece quase idolatria: transformar
em sagrada, eterna e imutável uma definição criada cinco minutos antes.

Mesmo assim a questão é interessante: eu sugeri que poderíamos definir
fatorial em classes ainda mais amplas de objetos (do que C), por exemplo
para matrizes. Bem, que *podemos* definir A! onde A é uma matriz é um fato
banal e desinteressante; podemos por exemplo calcular o fatorial de
cada entrada da matriz, ou fazer algo ainda mais bobo e dizer que
A! = 0 para toda matriz A. Estas definições não são divinamente proibidas,
nem pouco "rigorosas": elas são apenas desinteressantes porque não têm
nenhuma propriedade não trivial, não nos ensinam nada nem sobre matrizes
nem sobre a função fatorial.

Consideremos a definição usual de exponencial de uma matriz:
se A é uma matriz complexa quadrada definimos

exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + A^4/4! + ...

Por que esta definição é interessante? Ela *não* satisfaz
várias propriedades usuais da exponencial, por exemplo, não
é verdade em geral que

exp(A+B) = exp(A) exp(B);

isto só é verdade se A e B comutam (i.e., se AB = BA),
em geral temos

exp(A+B) = lim (exp(A/n) exp(B/n))^n

Assim, quando tornamos um conceito mais geral temos que aceitar
o fato que algumas das propriedades do caso mais simples não valem
mais, ou só valem em uma versão mais complicada.

Voltando à função fatorial, sua principal propriedade a meu ver é

(n+1)! = (n+1) n!

e apesar de não ter dito *qual* definição de A! estou propondo,
adianto que é sempre verdade que

(A+I)! = (A+I) A! = A! (A+I)

onde I é a matriz identidade. Mas o Albert tem todo o direito de ter
outra opinião quanto a qual a propriedade mais interessante da função
fatorial (ou gama, com a devida troca de variáveis): a propriedade
favorita dele parece ser

L{t^n} = [Gama(n+1)]/[s^(n+1)]  ,  n > -1 ,

sendo L a transformada de Laplace. Ou seja,

int_0^infty exp(-st) t^n dt = n! s^(-n-1)

se trocamos n por uma matriz quadrada A nossa primeira dificuldade é
definir t^A; minha sugestão seria definir

t^A = exp(A log(t))

Podemos agora usar a identidade acima para definir A!,
pelo menos quando a integral convergir.
Esta definição coincide com a que eu tinha em mente nestes casos.
Depois escrevo outra mensagem explicando melhor estas definições.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau