Re: problema

[albert.bouskela@xxxxxxxxxxxxxxxx]

>On Wed, 7 Jul 1999 albert.bouskela@imagelink.com.br wrote:
>
>> >mas se vc calcular o fatorial de :
>> >2.5! = 3,32335097044784255118406403126465
>> >3.2!= 7,7566895357931776386947595830099
>> >
>> >isso de acordo com a calculadora do windows
>> >
>> >uma coisa:
>> >tambem de acordo com o win
>> >0.5! = 0,886226925452758013649083741670573
>> >(pi)^(1/2)=1,77245385090551602729816748334115
>> >
>> >E o interessante é que o computador leva até 5 segundos em media calculando

>> 
>> >esses fatoriais.
>> 
>> Heleno:
>> 
>> Está tudo correto, porém sem qq. rigor matemático, veja:
>> 
>> Gama(n+1)=n!  , assim:
>> 
>> Gama(0,5)=raiz(pi) e, por EXTRAPOLAÇÃO (sem qq. rigor matemático):
>> 
>> (-0,5)!=raiz(pi)
>> 
>> Na verdade, o q. as calculadoras fazem para chegar a um valor de n! 
>> qdo. n não é natural equivale a calcular o valor da função Gama para 

>> (n+1) ; o q. só pode ser feito somando os termos de uma série 
>> teoricamente infinita, por isso o cálculo é demorado. 
>> Isto tem utilidade prática, todavia não tem rigor matemático: 
>> n! refere-se a um número n , INTEIRO e positivo.
>> 
>> Sds.,
>> 
>> Albert.
>
>Conferi as contas no Maple:
>
>> evalf(GAMMA(0.5),50);
>              1.7724538509055160272981674833411451827975494561224
>
>> evalf(GAMMA(1.5),50);
>              .88622692545275801364908374167057259139877472806119
>
>> evalf(GAMMA(2.5),50);
>              1.3293403881791370204736256125058588870981620920918
>
>> evalf(GAMMA(3.5),50);
>              3.3233509704478425511840640312646472177454052302295
>
>> evalf(GAMMA(4.2),50);
>              7.7566895357931776386947595830098952250022722531165
>
>> evalf(GAMMA(4.1210821427051354901145997636127819713792470164075),50);

>              7.0000000000000000000000000000000000000000000000007
>
>
>O que eu não concordo é com este ponto de vista de dizer que
>a afirmação (-1/2)! = Pi^(1/2) é algo "sem rigor matemático".
>Quem define a função fatorial somos nós, e nós podemos usar
>o domínio que nos parecer mais interessante. Tanto a definição
>via integrais quanto a definição via limites permitem definir
>z! para qualquer número complexo z, com a ressalva que z! = infinito
>se z é um inteiro estritamente negativo. Em todos os outros pontos
>z do plano complexo z! é um número complexo muito bem definido.
>Nada nos impede de dar definições ainda mais gerais, por exemplo,
>de fatorial de uma matriz: se 
>
>                                [-99/2     21]
>                           A =  [            ]
>                                [-245/2    52]
>
>eu sugeriria dizer que
>
>                      [           1/2              1/2 ]
>                      [-84 + 15 Pi        36 - 6 Pi    ]
>                A! =  [                                ].
>                      [            1/2              1/2]
>                      [-210 + 35 Pi       90 - 14 Pi   ]
>
>
>Alguém adivinha por que motivo? E se
>
>                               [1 1]
>                           B = [   ]
>                               [0 1]
>
>quanto valeria "B!" ?
>
>
>A demonstração de que (-1/2)! = Pi^(1/2) não foi apresentada aqui:
>segue uma demonstração baseada na definição via limites e na fórmula
>de Stirling
>
>n! ~ n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n)
>
>onde o ~ significa que o limite do quociente quando n -> +infinito
>é 1.
>
>Temos
>
>((2n-1)/2)! = (-1/2)! (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) ~ n!/sqrt(n)
>
>Donde
>
>(-1/2)! = n!/( sqrt(n) (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) )
>        = 2^n n!/( sqrt(n) 1 * 3 * ... * (2n-1) )
>        = 2^n n! (2 * 4 * ... * (2n))/(sqrt(n) 1 * 2 * ... * (2n))
>        = 4^n (n!)^2 / ( sqrt(n) (2n)! )
>        ~ 4^n (n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n))^2
>            / (sqrt(n) (2n)^(2n) e^(-2n) sqrt(2 Pi 2n))
>        = sqrt(Pi)
>
>Também pode-se demonstrar este fato via integrais, mas fica para outra
>mensagem...
>
>[]s, N.
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
>
>


Permito-me discordar: 

n! = produtório de 1 até n , sendo inteiro e positivo e
0! = 1 .

A função Gama de n+1 [Gama(n+1)=n!] COINCIDE com o fatorial de n 
para qq. n inteiro e positivo. 

Não obstante, qq. EXTRAPOLAÇÃO é, evidentemente, válida desde q. não 
haja conflito com as bases axiomáticas e q. cumpra algum objetivo 
prático.

Sds.,

Albert.

_________________________________________________________
Image Link Webmail 2.2i - http://webmail.imagelink.com.br