Re: Funcoes

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 23 Jun 1999, Eduardo Casagrande Stabel wrote:

> X) Prove que existe somente uma funcao f(x) da forma
  f(x) = ax^(n+1) + bx^n + ... + w (igual a um polinomio), isso eu chamei
  de grau (n+1), que "passe" por (n+2) pontos quaisquer de um outra funcao
  qualquer g(x) da forma g(x)=zx^n + yx^(n-1) + ... + k (igual a um
  polinomio), e isso eu chamei de grau n.

n+2 pontos de R^2 com coordenadas x distintas determinam um único
polinômio de grau <= n+1. De fato, se os pontos são (x1,y1),...
um tal polinômio é a soma dos polinômios

yi ((x-x1)(x-x2)...(x-x{n+2}))/((xi - x1)(xi - x2)...(xi - x{n+2}))

onde o termo (x - xi) é omitido em cima e o termos (xi - xi) é omitido
em baixo. Por outro lado, se dois polinômios p e q de grau <= n+1
coincidirem nestes n+2 pontos então p-q tem grau <= n+1 e se anula em
n+2 pontos, o que significa que p-q = 0 (o polinômio zero).

No caso do seu problema, os n+2 pontos já estão sobre o gráfico de um
polinômio de grau n, donde o único polinômio de grau <= n+1 que passa
por estes pontos é o polinômio de grau n dado inicialmente.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau