Re: Mais questões olímpicas

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

>
>> 1) Um polígono convexo de N lados é tal que :
>>    1.1 ) Não tem dois lados paralelos
>>    1.2 ) Não tem duas diagonais paralelas
>>    Quantos pontos no Exterior do polígono são pontos de intersecção de 
>> diagonais ?
>> Nota: supor que não há ponto no exterior que seja de interseção de tr~es
>ou 
>> mais diagonais.
>> 
>> 2 )Prove que, com duas cores, é possivel colorir os pontos de uma 
>> circunferencia de forma que todo triangulo retangulo nela inscrito não
>tenha 
>> dois vertices pintados com a mesma cor.
>
>Wow! Está certo esse problema? Não é impossivel provar isso? Pois, afinal,
>temos 3 vértices para distribuir em 2 cores. Então o terceiro vértice tem
>que cair numa das duas cores já usadas...
>

Acho que o problema quis se referir aos vértices da hipotenusa e não ao vértice do angulo de noventa graus. Para isso ser verdade, é necessário que quando dois vértices e o centro da circunferência são colineares deve-se pintar os vértices de cores diferentes. Como todo o triangulo retângulo inscrito numa circunferência tem o diâmetro como hipotenusa. No caso de o número de pontos ser par, e dois pontos sucessivos quaisquer terem a mesma distancia, devemos pintar as cores alternadamente da seguinte forma: cor1, cor2, cor1, cor2, ....
(Isso não lenvando em conta que o problema está mal redigido)

>> 
>> 3)Imagine uma "mesa de sinuca circular". Qual o lugar geometrico dos
>pontos 
>> ( com direções ) tais que uma bola colacada em qualquer deles, após um 
>> numero finito de reflexões nas bordas, tornará a passar por ele ? Nota: 
>> suponha que os choques nas bordas são perfeitamente elásticos.
>
>Como assim "com direçoes"?
>

Vamos supor que se você lança uma bola contra uma circunferência ( o lançamento parte de dentro ) o ponto de contato , de tangencia , da bola menor com a maior seja apenas um único ponto, pois se fossem dois pontos a bola teria atravessado a circunferencia maior. Como o ponto de tangência é único, a reflexão da bolinha vai ser o mesmo que o ponto de reflexão com  a reta tangente a circunferência maior naquele ponto. Supondo que a bola reflita a segunda vez e medindo o arco AB (ponto A - primeira reflexao; ponto B - segunda reflexao), veremos que o arco BC (ponto C - terceira reflexao) = arco AB, isso por que o angulo de reflexão se mantém constante:
Prova:
Qualquer arco AB de uma circunferencia ( centro O) , tem AO = BO = raio, logo OÂB = O^BA e isso implica que os angulos da reta tangente do ponto A  com AB é o mesmo angulo da reta tangente do ponto B com AB. E como a reflexão tem o mesmo angulo, esse ultimo, a reflexão terá sempre o mesmo angulo.

Continuando a explicacao:
Chamemos de k o arco AB = arco BC = ... Para a condicao do problema ser atendida é necessário que tenhamos apos n reflexões e o somando os arcos, paremos no mesmo ponto A, que implica na passagem pelo ponto inicial.
Entao formalizemos:
(kn)/(2pi)=z, a condição do problema é de que z seja inteiro, e isso só acontecerá de kn for multiplo de 2pi. Como n é inteiro e k  é da forma a*pi + b, isso só será verdadeira se b for racional.
A resposta pode estar muito pouco palpável, mas é verdadeira para todos os casos, por exemplo, em que k é o arco de um poligono regular inscrito na circunferencia.
Se fosse necessario eu tentava descobrir para quais n isso será verdade, mas já chega, minha cabeça está doendo.