Re: Dízima ou não-dízima

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 9 Jun 1999, Alexandre Tessarollo wrote:

> Antes tarde do que nunca: esse é um problema que já discuti com vários
> professores meus (sou vestibulando) e o que alguns me disseram foi:
> Como 0,9999....=0,5555....+ 0,44444....
> Temos:
> 0,999...= 5/9 +4/9
> 0,999....=9/9
> 0,9999....=1
> 
> Assim 0,999... NÃO seria um número próximo de 1, mas sim uma outra maneira de
> escrever o PRÓPRIO 1.
>     Concordo, realmente é díficil aceitar... Com isso martelando na cabeça,
> consegui uma outra explicação, ou melhor, um desafio:
> "Se vc souber os 10 axiomas da aritimética, vc descobre que 0,999... é
> diferente de 1. Vale lembrar que, habitualmente, trabalhamos apenas com 9 dos
> axiomas."

Usando novamente meu detetor de sinais psiquicos através de sequencias
de caracteres ASCII, eu adivinho que você está falando de axiomas para
os números reais (e não para a matemática; não faz sentido falar de
axiomas para toda a matemática). O número dez nada tem a ver com os gênios
planetários, nem com o número de falangetas na parte esquerda do corpo
humano. Aliás é totalmente arbitrário, nem é a resposta para nenhuma
grande pergunta cósmica. Blah!

Mas os grandes axiomas, escritos com uma espada flamejante em um quadro
branco, assim produzindo gazes tóxicos e alertando os bombeiros, são:

a+(b+c) = (a+b)+c
a+0 = 0+a = a
a+(-a) = (-a)+a = 0
a+b = b+a

a(bc) = (ab)c
a(b+c) = ab + ac
a1 = 1a = a
ab = ba

e, se a != 0, a*(1/a) = (1/a)*a = 1

a > 0, b > 0 => a+b > 0
a > 0, b > 0 => ab > 0
a > 0 ou a = 0 ou a < 0

Para todo real a existe um inteiro n com n <= a < n+1.

Mas o Grande Axioma que falta é:

Se a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ... <= b3 <= b2 <= b1 <= b0
então existe um real c com
a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ... <= c <= ... <= b3 <= b2 <= b1 <= b0


Os dois últimos axiomas são meio roubalheira.
O penúltimo fala de inteiros, assim pressupondo que o leitor astuto
já tenha estudado os inteiros antes. E J*mala criou os naturais,
e dos naturais para os inteiros a passagem é bem fácil.
O último é ainda pior, fala de seqüências de reais, assim pressupondo que
o leitor já estudou... teoria dos conjuntos, talvez?
Teoria dos conjuntos J*mala conhece mas não conta, ou talvez
nosso cérebro ainda não esteja preparado para contemplar toda sua glória
e sobreviver para provar lemas técnicos...

> Aquele que conseguir a resposta, eu agradeço, pois ainda não consegui os dez
> axiomas, só uns 5 ou 6.
> 
> Abraços,
> 
> Alexandre Tessarollo

Saudações J*malistas, Nicolau
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau