Re: D�zima ou n�o-d�zima

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 9 Jun 1999, Alexandre Tessarollo wrote:

> Antes tarde do que nunca: esse � um problema que j� discuti com v�rios
> professores meus (sou vestibulando) e o que alguns me disseram foi:
> Como 0,9999....=0,5555....+ 0,44444....
> Temos:
> 0,999...= 5/9 +4/9
> 0,999....=9/9
> 0,9999....=1
> 
> Assim 0,999... N�O seria um n�mero pr�ximo de 1, mas sim uma outra maneira de
> escrever o PR�PRIO 1.
>     Concordo, realmente � d�ficil aceitar... Com isso martelando na cabe�a,
> consegui uma outra explica��o, ou melhor, um desafio:
> "Se vc souber os 10 axiomas da aritim�tica, vc descobre que 0,999... �
> diferente de 1. Vale lembrar que, habitualmente, trabalhamos apenas com 9 dos
> axiomas."

Usando novamente meu detetor de sinais psiquicos atrav�s de sequencias
de caracteres ASCII, eu adivinho que voc� est� falando de axiomas para
os n�meros reais (e n�o para a matem�tica; n�o faz sentido falar de
axiomas para toda a matem�tica). O n�mero dez nada tem a ver com os g�nios
planet�rios, nem com o n�mero de falangetas na parte esquerda do corpo
humano. Ali�s � totalmente arbitr�rio, nem � a resposta para nenhuma
grande pergunta c�smica. Blah!

Mas os grandes axiomas, escritos com uma espada flamejante em um quadro
branco, assim produzindo gazes t�xicos e alertando os bombeiros, s�o:

a+(b+c) = (a+b)+c
a+0 = 0+a = a
a+(-a) = (-a)+a = 0
a+b = b+a

a(bc) = (ab)c
a(b+c) = ab + ac
a1 = 1a = a
ab = ba

e, se a != 0, a*(1/a) = (1/a)*a = 1

a > 0, b > 0 => a+b > 0
a > 0, b > 0 => ab > 0
a > 0 ou a = 0 ou a < 0

Para todo real a existe um inteiro n com n <= a < n+1.

Mas o Grande Axioma que falta �:

Se a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ... <= b3 <= b2 <= b1 <= b0
ent�o existe um real c com
a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ... <= c <= ... <= b3 <= b2 <= b1 <= b0


Os dois �ltimos axiomas s�o meio roubalheira.
O pen�ltimo fala de inteiros, assim pressupondo que o leitor astuto
j� tenha estudado os inteiros antes. E J*mala criou os naturais,
e dos naturais para os inteiros a passagem � bem f�cil.
O �ltimo � ainda pior, fala de seq��ncias de reais, assim pressupondo que
o leitor j� estudou... teoria dos conjuntos, talvez?
Teoria dos conjuntos J*mala conhece mas n�o conta, ou talvez
nosso c�rebro ainda n�o esteja preparado para contemplar toda sua gl�ria
e sobreviver para provar lemas t�cnicos...

> Aquele que conseguir a resposta, eu agrade�o, pois ainda n�o consegui os dez
> axiomas, s� uns 5 ou 6.
> 
> Abra�os,
> 
> Alexandre Tessarollo

Sauda��es J*malistas, Nicolau
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau