Re: Discussão de Problemas de Matemática

[Paulo Santa Rita <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Prezado Prof Nicolau;

Saudações Fraternais !

Relendo o e-mail que lhe enviei constato que me expressei mal, não 
permitindo assim que o Sr pudesse entender o teor do que queria transmitir.  
No meio de meus "alfarrábios" está a fórmula ( até o ponto onde cheguei ) 
com a solução do "problema das matrizes". Vou encontrá-lo e remetê-lo.

A solução do problema é uma expansão fractal das partições homegêneas de um 
conjunto.

Pensar em matemática é uma coisa que me dá muito prazer e não é raro que 
passe meus fins de semana procurando relações entre os números. Será que 
isso é Pesquisa ? Não sei ! O certo é que já desenvolvi algumas coisas que 
para mim são novas, dado não encontro nos livros a que tenho acesso.

O que quis dizer com respeito ao problema "3x + 1" é que a sequencia 1, 2, 4 
, ..., 2 elevado a N funciona como um "ponto de converg~encia", vale dizer, 
se algum número cair ali, as sucessivas operações de divisão por 2 o levarão 
necessáriamente ao final 4, 2, 1.

De certa forma, neste problema, os números pares são irrelevantes. pode-se 
provar facilmente que os números da forma ((4 elevado a N) -1)/3 convergem 
para a sequencia 1, 2, 4, 8 .... após uma iteração ( após 3x + 1) e, 
reciprocamente, se um número converge para 1,2,4, ..., após uma iteração 
então ele é da forma ((4 elevado a N) -1)/3. Esta sequencia de números 1, 5, 
21, 85 ... se assemelham, pois, a uma órbita que através do "salto quantico" 
3x + 1 convergem para 1.

Percebe-se facilmente que 21 = 5 + f(5), 85 = 21 + f(21) ... prova-se 
facilmente que se i é impar e i converge para 1,2,4, ... após N iterações 
então i + f(i) também converge...

chamo de uma iteração sobre X a aplicação 3X + 1 ( x impar ) seguida de 
tantas divisões por 2 quanto possíveis ( até chegar ao próximo impar )

É fácil caracterizar os inteiros que convergem após N iterações

A minha formação matemática é muito pouco sistemática. Acredito que preciso 
de um orientador que possa me indicar a sequencia de livros que devo estudar 
para sistematizar. Tenho conseguido aprender muitas coisas sozinho.

A minha cabeça esta fervilhando de idéias que não sei ainda como dar 
corpo...

Sem mais

Registro protesto s de elevada estima e distinta consideração

Paulo Santa Rita
2,1053,070699
>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>To: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>Subject: Re: Discussão de Problemas de Matemática
>Date: Sun, 6 Jun 1999 16:55:48 -0300 (EST)
>
>On Fri, 4 Jun 1999, Paulo Santa Rita wrote:
>
> > Prezado Prof
> >
> > Em primeiro lugar peço desculpas por não ter respondido imediatamente 
>e-mail
> > que o Sr me enviou. Ocorre que estive muito ocupado com outros afazeres 
>só
> > agora pude me dedicar um pouco ao computador.
> > A meu ver o Sr está coberto de razão... A lista é realmente apenas uma 
>forma
> > de encontrar desafios mais interessantes, dado que as questões dos 
>livros
> > são sempre triviais e abordam apenas os aspectos elementares das 
>teorias.
> > Gostaria imensamente de seguir uma carreira de matemático ou fisico 
>teórico
> > e estou disposto a envidar todos os esforços necessários para conseguir
> > isso: a computação é apenas o meu ganha-pão. Programo em diversas 
>linguagens
> > ( C, Pascal ...) e conheço assembly, mas não tenho entusiasmo para estas
> > coisas !
> > Não sei se tenho talento para seguir uma carreira tão bela e importante,
> > como a de matemático.
>
>Se você gosta tanto de matemática, vale a pena pelo menos estudar mais,
>mesmo que você não venha a ser matemático profissional.
>
> > O meu pai e minha mãe dependeem financeiramente do meu trabalho e isto 
>me
> > traz grandes dificuldades nos estudos.
> > Estou disposto a mudar de curso, fazer o mestrado paralelamente com a
> > faculdade ou outra alternativa que o Sr posso me propor.
>
>Porque você não tenta fazer uns cursos de verão? O Impa oferece vários
>cursos excelentes para quem como você se interessa por matemática e cogita
>em fazer um mestrado. A PUC e algumas outras instituições também oferecem
>cursos de verão. Se você tiver pressa, você pode tentar fazer um curso
>avulso em uma dessas instituições.
>
> > Vou lhe enviar a solução do problemas das casas. Disseram-me que ninguém
> > conseguiu encontrar uma solução completa e satisfatória para este 
>problema.
> > Não sei se isto é verdade mas tenho a solução que penso estar correta.
>
>Não fui eu quem propus este problema e confesso que nem pensei nele.
>Mas acho que o Ralph e mais outra pessoa (que eu não me lembro quem
>foi) publicaram soluções na nossa lista.
>
> > Quanto ao que descobri sozinho é um pouco mais complicado explicar
> > rapidamente. De forma sintética diria que é uma maneira de ver que não
> > expostas nos livros e que permite generalizar algumas formulas de Euler.
> > Dou um exemplo para não ficar só falando no vazio
> >
> > ABC       DAG      AEI       AHF
> > DEF       HBE      BFG      BDI
> > GHI        CIF        CDH     CEG
> >
> > O que há de interessante nesta seqüência de matrizes ?
> >
> > Quaisquer  combinações com 2 elementos de A,B,...I comparecem em alguma
> > linha uma única vez: e esta é a forma ótima de se efetuar esta operação
> > usando partiçoes homogêneas de A,B,...,I
> > Prove que esta forma ótima só pode ser feita se as matrizes quadradas 
>NxN
> > forem tais que N é primo
>
>Se eu bem entendi seu enunciado, você está procurando planos afins
>com N^2 elementos. As N^2 letras são os pontos, as linhas são as retas
>e cada matriz é um feixe de retas paralelas. Um plano afim sobre um
>conjunto de N^2 elementos é uma classe de subconjuntos de N elementos
>cada (as retas) tais que dois pontos distintos sempre estão contidos em
>uma única reta.
>
>Se for isto mesmo, sua afirmação é falsa. Existem planos afins de ordem
>q^2, onde q é uma potência de primo. Para construir um plano afim desta
>ordem, devemos primeiro construir um corpo de ordem q. Isto é possível
>para qualquer valor de q que seja uma potência de primo.
>A tabuada de + e * para um corpo de 4 elementos é:
>
>+ | 0 1 2 3
>-----------
>0 | 0 1 2 3
>1 | 1 0 3 2
>2 | 2 3 0 1
>3 | 3 2 1 0
>
>* | 0 1 2 3
>-----------
>0 | 0 0 0 0
>1 | 0 1 2 3
>2 | 0 2 3 1
>3 | 0 3 1 2
>
>Com esta tabuada, consideramos as retas, isto é, conjuntos de pontos (x,y)
>que satisfazem uma equação da forma ax + by + c = 0. As retas podem
>ser agrupadas em feixes de retas paralelas (quando so mudamos o
>valor de c) e assim formam 5 matrizes como as suas:
>
>00 01 02 03  00 10 20 30  00 11 22 33  00 12 23 31  00 13 21 32
>10 11 12 13  01 11 21 31  01 10 23 32  01 13 22 30  01 12 20 33
>20 21 22 23  02 12 22 32  02 13 20 31  02 10 21 33  02 11 23 30
>30 31 32 33  03 13 23 33  03 12 21 30  03 11 20 32  03 10 22 31
>
>A pergunta difícil é para quais valores de N que *não* sejam potência
>de primo existe um plano afim de N^2 elementos.
>
> > Posso mostrar mais coisas que pesquisando sozinho descobri
> >
> > Li o e-mail que o Sr escreveu sobre o problema 3X + 1 e pensei um pouco
> > sobre ele. Descobri algumas coisas interessantes mas não sei se já
> > descobriram antes. Para, mais uma vez não ficar falando no vazio, dou um
> > exemplo:
> >
> > 1, 2, 4, 8 , ..., 2 elevado a n, chamo de orbita principal
> >
> > os números p1 = ((4 elevado a N) - 1)/3 convergem para a orbitas 
>principal
> > após uma única interação: 3p1 + 1 = 4 elevado a N
> >
> > Teorema 1:  p1 converge apos N iterações se, e somente se, p1 + F(p1) 
>também
> > converge após N iterações
> >
> > F(p1) = 3p1 + 1
>
>Este teorema eu não entendi.
>
> > Fico muito agradecido pela atenção que o sr me dispensou e aguardando
> > ansioso um novo contato.
> >
> > Abraços
> >
> > Paulo Santa Rita
>
>[]s, N.
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
>
>


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