Re: Ainda sobre Pi

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

       Caro Salvador,
              
               O problema e' muito interessante.Espero poder resumir minha
solucao de modo compreensivel:
        Teremos a(i)=k(i)(n-i) para i=1,2,...,n-2.Vamos tentar entender a
sequencia k(i).Para i<n/2,por exemplo,teremos k(i)=i+1,ou seja,
k(i)-k(i-1)=1.O que vai acontecer e' que a partir dai havera' uma faixa de
valores de i onde k(i)-k(i-1)=2,depois uma faixa onde k(i)-k(i-1)=3,etc.
Mais precisamente,havera' uma sequencia de numeros entre 0 e 1,c(0),c(1),... 
com c(0)=0,c(1)=1/2,... tal que se i esta' entre c(r-1)n e c(r)n entao
k(i)-k(i-1)=r.Vamos tentar determinar aproximadamente que sequencia e' esta.
Se k(i+1)=k(i)+r,precisamos ter a(i+1)=(k(i)+r)(n-i-1)>k(i)(n-i)=a(i),ou
seja,r>k(i)/(n-i-1).Assim,r deve ser o menor inteiro que e' maior que
k(i)/(n-i-1).Isso nunca diminui,pois k(i) cresce e n-i-1 diminui quando i
cresce.No caso limite,quando mundamos de r para r+1 teremos i=c(r)n e
k(i)/(n-i-1) quase igual a r,donde k(c(r)n)=k(i) e' da ordem de r(1-c(r))n.
Por outro lado,k(c(r)n)-k(c(r-1)n)=r(c(r)n-c(r-1)n)=r(c(r)-c(r-1))n,e,pelo
que vimos acima,k(c(r)n)-k(c(r-1)n) e'da ordem de
r(1-c(r))n-(r-1)(1-c(r-1))n=(1+(r-1)c(r-1)-rc(r))n,donde
temos,aproximadamente r(c(r)-c(r-1))=1+(r-1)c(r-1)-rc(r),ou seja,c(r) e'
aproximadamente igual a (1+(2r-1)c(r-1))/2r,ou seja,se definirmos
b(r)=1-c(r),teremos b(r) aproximadamente igual a ((2r-1)/2r)b(r-1).
Esses aproximadamente iguais sao cada vez mais iguais quando n cresce. 
Como b(0)=1,temos b(r) aproximadamente igual a 1.3.5...(2r-1)/2.4.6...(2r)=
=(2r)!/(2^r.r!)^2,o que,pela formula de Stirling (segundo a qual m! e'
assintoticamente igual a m^m.e^(-m).raiz(2.m.Pi)) nos diz que b(r) e'
assintoticamente igual a 1/raiz(r.Pi).Por outro lado,como a(i)=k(i)(n-i),
temos a(c(r)n)=k(c(r)n)(1-c(r))n,que,como k(c(r)n) e'da ordem de r(1-c(r))n,
e' da ordem de r(1-c(r))^2.n^2=r.b(r)^2.n^2,que e' assintoticamente igual a
r.(1/raiz(r.Pi))^2.n^2=n^2/Pi,o que da' o resultado desejado
         Abracos,
                 Carlos Gustavo Moreira(Gugu)
   
>
>
>Peco desculpas a todos , pois esqueci uma condicao no enunciado da 2
>questao que propus num mail anterior.
>
>2)-Define-se f(n), n natural como:
>
>a1 = 2(n-1)
>
>
>ai+1 = ai + (n-1-i) - ai mod (n-1-i) , se ai mod (n-1-i) <> 0 
>
>ai+1 = ai , se ai mod (n-1-i) = 0 
>
>f(n) = an-2
>
>
>Isso quer dizer, que dado n, pega-se o menor multiplo , a1 , de n-1 que e
>maior ou igual que n.
>
>Ai, a2 e o menor multilpo de n-2, que e maior ou igual que a1, e assim por
>diante.
>
>Essa cond extra e necessaria, porque, seja n=6 :
>
>a1 = 10 ,  a2 = 12 ,  a3 = 12 ,  a4 = 12  => f(n)=12
>
>Como eu tinha escrito num e-mail anterior, teriamos :
>
>a1 = 10 , a2 = 12 , a3=15 , a4 = 16, que nao e o desejado. 
>
>
>Agora sim : Prove que n^2/f(n) --> pi , para n grande.
>
>
>Abracos,
>
>	Salvador
>
>
>