Re: prove se v ou f

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 26 May 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Olá, como vão? Eu vou muito bem... :-)
> Chega de papo furado.
> Perguntara eu a uns dias (ou foi ontem? não estou bem certo, mas acho que
> foi ontem) se é verdade que x^x!>=x!^x.
> Bom, demonstrei isto, sabendo que x! cresce bem mais rapido que n^x (algo
> parecido).
> Elevando um número ao seu fatorial (em geral) resulta num número
> gigantesco..., ao contrário de um número, fatorialado e elevado ao próprio.
> EX:
> 5^(5!)= 7,523163845263e+83
> (5!)^5 = 24883200000
> Claro que este exemplo de boçal não comprova nada, mas eu como tirei todas
> as outras anteriores, percebi que o fatorial é rápido... blábláblá.
> Só queria saber como um matemático "sério" (ou seja, o Nehab tá fora, já que
> é muito brincalhão :-))) ) provaria para mim meu teorema... provavelmente
> esta fica contigo, Saldanha...
> 
> []s, B.
> :-))))

Oi Benjamin,
Wagner e José Paulo mandaram referência mas, na tentativa
de tornar esta lista mais autocontida, ai vai um esboço de demonstração.

Lema: Se e <= a < b então a^b > b^a.

Aqui e é 2.7182...

Dem: (usando cálculo): basta provar que log(a^b) > log(b^a),
ou seja, que b log(a) > a log(b), ou seja, que log(a)/a > log(b)/b,
ou seja, que a função f(x) = log(x)/x é decrescente a partir de e.
Para tal derivamos f: f'(x) = (1 - log(x))/(x^2).
Visivelmante negativo para x > e.

qed

Seu problema agora fica fácil, pois claramente para n>2 temos
e < n < n!

Alguém oferece uma demonstração mais elementar?

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau