Re: ajuda...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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end

Oi Pedro, estou enviando junto com a resposta uma proposta para que
você entre na lista obm-rj de discussão de problemas de matemática,
especialmente problemas de olimpíadas.
 
On Mon, 10 May 1999, Pedro Calais wrote:

> Oi Nicolau!
> Estou atualmente cursando o 2o ano do 2o grau do colégio Promove,
  em Belo Horizonte.
> Sera que voce poderia me ajudar na resoluçao de um problema?
> 
> É o seguinte:
> "Em uma escola, realizou-se um concurso de lógica.
  Os cinco finalistas foram João, Paulo, Daniela, Marta e Sofia. Ao serem
  entrevistados sobre o resultado final do concurso, assim se
  manifestaram:
> -JOAO: "A marta ficou em segundo lugar e eu em quarto"
> -PAULO: "Eu fiquei em terceiro lugar e a Sofia em ultimo"
> -DANIELA:"A Marta ganhou, mas eu fiquei em segundo lugar"
> -MARTA: "O Paulo foi quem ganhou. Eu fiquei em ultimo lugar"
> -SOFIA: "Quem ficou em segundo lugar fui eu. A Marta obteve o terceiro lugar.
> 
> Sabendo-se que cada um deles fez, nessa oportunidade,
  uma afirmacao fala e outra verdadeira, quem ganhou o concurso?"
> 
> -Sera que voce saberia como resolver essa questao? Por favor, me ajude!

Este tipo de questão é comum e não creio que exista uma maneira de
resolvê-los que seja ao mesmo tempo simples e geral (i.e., que se aplique
a qualquer problema deste tipo).

Neste caso eu resolvi o problema considerando a posição da Marta,
já que ela foi mencionada quatro vezes.

Se a Marta chegou em primeiro temos uma contradição, pois a própria Marta
diz que o João ganhou (o que é impossível se ela ganhou) e que ela chegou
em último (o que também contradiz nossa hipótese).
Se a Marta chegou em segundo, temos uma contradição semelhante da fala
da Sofia. Se a Marta chegou em quarto é a fala de João que nos leva a
uma contradição. Se a Marta chegou em último deduzimos da fala da Daniela
que ela (Daniela) chegou em segundo e da fala de Sofia que ela (Sofia) 
chegou em segundo, o que também é uma contradição.

Deduzimos assim que Marta *obrigatoriamente* chegou em terceiro.
Da fala de João deduzimos que ele chegou em quarto lugar.
Da de Paulo deduzimos que Sofia chegou em último.
Da de Daniela que ela (Daniela) ficou em segundo.
Da de Marta deduzimos que Paulo ganhou, o que já determina a resposta.
A resposta de Sofia também é compatível com nossa solução:

1o Paulo, 2a Daniela, 3a Marta, 4o João, 5a Sofia. 

> Muito obrigado,
> Pedro Henrique Calais
> pcalais@bhnet.com.br

Já que você gosta deste tipo de problema, dê uma olhada neste "exame":
http://www-math.mit.edu/~propp/srat-Q
(em inglês, mas isto não deve ser um problema).

[]s, N.

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau