Re: problemas (fwd)

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

Forwarded message:
>From gugu Tue Dec 15 20:03:28 1998
Subject: Re: problemas
To: bene@digi.com.br (benedito)
Date: Tue, 15 Dec 1998 20:03:28 -0200 (EDT)
In-Reply-To: <3.0.3.32.19981213154521.007987d0@digi.com.br> from "benedito" at Dec 13, 98 03:45:21 pm
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   Caro Benedito,
      Vamos la':
Problema 1:Suponha que nao.Entao para n grande,se houver n^2+n carocos de
feijao na mesa o primeiro jogador ganha,isto e',existe k quadrado perfeito
menor ou igual a n^2+n(e portanto menor ou igual a n^2) tal que o primeiro
jogador,retirando k carocos e devolvendo n^2+n-k (que vale pelo menos n)
carocos para o segundo jogador,este segundo jogador estara' perdido,mas isso
mostra que quem comeca com n^2+n-k carocos perde,mas n^2+n-k>=n pode ser
arbitrariamente grande,cqd.
Problema 2:Os racionais sao um conjunto enumeravel,digamos
Q={r_1,r_2,r_3,...}.O jogador A pode escolher sempre o intervalo I(2k-1) de
modo que o racional r_k nao pertenca a ele,e no fim nenhum racional r_k com
k natural(e portanto nenhum racional) estara' na intersecao de todos os
intervalos In,que portanto deve ser irracional.\
   Abracos,\
             Gugu
>
>Caro Gustavo, 
>Você pode dar uma a solução para cada um dos dois problemas abaixo?
>
>Problema1
>Considere o seguinte jogo para duas pessoas. Um número  M  de caroços de
>feijão estão sobre uma mesa. Dois jogadores jogam alternadamente. Um
>movimento consiste em retirar da mesa um número n de caroços de feijão,
>onde  n  é um quadrado de um número inteiro positivo. O jogador que não for
>capaz de fazer um movimento perde. Prove que existe infinitas situações
>iniciais onde o segundo jogador vence, não importando como o primeiro
>jogador faça sua jogada.
>
>Problema 2
>Considere o seguinte jogo para dois jogadores  A  e  B.O jogador  A escolhe
>um intervalo fechado arbitrário   I1  de comprimento menor do que 1. Em
>seguida, o jogador  B escolhe um intervalo fechado I2  contido em  I1 e de
>comprimento menor do que  1/2. Então A  escolhe um intervalo fechado  I3
>contido em  I2 de comprimento menor do que 1/3, e assim por diante.
>Se a interseção de todos esse intervalos I1, I2, I3, ... for  irracional, o
>jogador A vence a partida. Caso contrário, vence B. Mostre que A sempre
>pode ganhar, independente de como B jogue.
>
>Obrigado antecipadamente.
>Benedito
>
>