Re: [obm-l] Integral

Referente a integral I = dx/(x^2 + 2)^2, consegui achar a seguinte solução:

1) tg^2(t) + 1 = sec^2(t)

2) x = sqrt(2)*tg(t)

dx = sqrt(2)* sec^2(t) dt

I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*tg^2(t) + 2)^2 dt

I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(tg^2 + 1))^2 dt

Substituindo 1 na integral temos,

I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(sec^2(t)))^2 dt
I = int sqrt(2) / 4*sec^2(t) dt
I = int (sqrt(2) /4)* cos^2(t) dt

I = (sqrt(2)/ 4)* (t/2 + sen(2t)/4) + C

I = sqrt(2)*t / 8 + sqrt(2) sen(2t) + C

3) t = arctg (x/sqrt(2))

4) sen(2t) = 2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2

Substituindo em I, temos:

I = sqrt(2)* (arctg (x/sqrt(2)) / 8) + sqrt(2) (2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2) + C

I = (x/4(x^2 + 2)^2) + 1/(4*sqrt(2)) * arctg (x/(sqrt(2)) + C, sendo C a constante...

Desde modo consigo resolver a Integral, porém eu não entendo a parte inicial da resolução que coloca que :

2) x = sqrt(2)*tg(t)

Se eu entender isto, resolvo o resto... Se alguém conseguir me explicar, ficarei eternamente grata...

Muito obrigada...

(E LEANDRO L RECOVA, eu derivei a sua resolução da integral e vi que ela não voltava a integral original, portanto acho que está errada. Por favor, comunique-se se eu estiver errada. Muito Obrigada)

Em 12/10/07, João Luís Gomes Guimarães <joaoluisbh@uol.com.br> escreveu:

Vivian,

sqrt é "raiz quadrada". é do inglês "square root".

----- Original Message -----

From: Vivian Heinrichs

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, October 12, 2007 9:28 PM

Subject: Re: [obm-l] Integral

Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?

Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a (x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante... Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui entender a resolução proposta...

Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...

Muito Obrigada.

Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA <leandrorecova@msn.com > escreveu:
Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:

(1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)

(2) x=sqrt(2).cotg(t)

Entao, de (2) temos:

dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

Substituindo na integral temos,

I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt

I = int [-sqrt(2)/2]dt

I = [-sqrt(2)/2]*t + C, C e uma constante de integracao. Substituindo (1)
nessa equacao temos

I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C

Saudacoes rubro-negras,

Leandro
Los Angeles, CA.

>From: "Vivian Heinrichs" < xjxjbo@gmail.com >
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Integral
>Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300
>
>Olá pessoal...
>Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2 ,
>sendo que I é a Integral.
>Obrigada.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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