Salhab,
"Urgente" é uma forma bem humorada de dizer "estou desesperado, não consigo resolver essa questão, me ajudem!!!".
Leva na esportiva, cara!
A despeito disso, achei a solução um pouco complicada ( o que não tira seu brilhantismo).
Eu estava pensando em indução da forma mais clássica.
na hipótese de indução, fiz:
Suponhamos que seja válido para (n-1). Desta forma teremos:
a_(n-1) > 3
agora devo usar esta hipótese para concluir que também será válida para (n-1) +1 , isto é , será válida para n.
escrevi que a_n = 1/2 [a_(n-1) + 9/a_(n-1)]
pela hipótese vejo que 1/2 (a_n-1) > 3/2
mas não estou conseguindo concluir nada com a outra parcela que seria 9/2 (a_n-1).
Se alguém conseguir algo nessa linha, estou no aguardo!!!
de qualquer forma , muito obrigado Salhab !!!
Anselmo :-P
Date: Thu, 4 Oct 2007 23:23:29 -0300
From: msbrogli@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Olá Anselmo,
apenas um comentário: não gosto muito da expressão URGENTE.. afinal de contas, somos todos voluntários nessa lista.. não é um lugar para coisas urgentes.
vamos analisar f(x) = 1/2 (x + 9/x)
f'(x) = 1/2(1 - 9/x^2)
procurando as raizes da primeira derivada, temos: 1 - 9/x^2 = 0 ... x = +- 3... estamos analisando o caso x>0
entao, em x=3 temos um ponto crítico..
f''(x) = -9/2 * (-2x/x^4) = 9/x^3 ... f''(3) = 9/27 = 1/3 > 0
assim, temos um ponto de mínimo local..
veja também que f(x) é crescente para x>3, pois: 9/x^2 < 1 ... 1 - 9/x^2 > 0 ... f'(x) > 0 para x > 3
pronto.. agora ficou simples..
facilmente, vemos que a_(n+1) = f(a_n), para n>= 1, e a_1 = 4
a_2 = f(a_1) = f(4) > f(3) = 3
a_3 = f(a_2) .. mas a_2 > 3, entao: f(a_2) > f(3) = 3.. logo: a_3 > 3
vamos supor que vale para k.. entao:
a_(k+1) = f(a_k) ... mas a_k > 3 (hipótese de indução), logo: f(a_k) > f(3) = 3
assim a_(k+1) > 3... cqd
abraços,
Salhab
On 10/4/07, Anselmo Sousa <anselmo_rj@hotmail.com > wrote:
Seja a_n a sequência definida como segue: a_1=4 a_(n+1)= 1/2[ a_n + (9/a_n)] usando indução, mostre que a_n>3, qq n natural. Desde já agradeço a colaboração!!! Anselmo :-)
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