Re: [obm-l] Convergência/divergência de sére

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
> 
> Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?

A série diverge.

O fato difícil aqui é provar que sin(n^2) > 0 para "muitos" valores de n.
De fato, sin(n^2) > 0 para aproximadamente a metade dos valores de n,
i.e., se a_n = #{m < n | sin(m^2) > 0} então lim a_n/n = 1/2.
Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração
muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi.

Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se
para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
onde b_n = #{m < n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.

O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.

Seja a_n uma seq.
Dado N, defina b_n = SOMA_{m<n} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
(aqui i = sqrt(-1)).
Então a_n é unif distr módulo T se e somente se
lim b_n/n = 0 (para todo N).

É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq
cn é uniformemente distribuida módulo T
(isto segue facilmente do teorema acima).
Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com
coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n)
é unif distribuida módulo T.
O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema
(a demonstração não é difícil usando o primeiro teo).

Seja a_n uma seq e T > 0.
Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n 
seja unif distr módulo T.
Então a_n é unif distr módulo T.

Acho que é bem mais difícil decidir
se a série abaixo converge (condicionalmente):

Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n)) 

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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