Eu usaria coordenadas polares para fazer essa definição.
Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido
através do outro pela aplicação de uma
homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante.
Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele
parametrizado por
r, theta e phi, a transformação seria uma transformação
de R^3 em R^3 que
levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão
de semelhança.
O volume seria uma integral tripla em r, theta
e phi.
V = int int int r(theta,phi) dr d(theta) d(phi)
V' = int int int n r(theta,phi) dr d(theta)
d(phi)
note que o raio r é função de theta e phi
e não e esses ângulos não
são afetados pela transformação de escala.
Agora se vc escrever em
coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será
z(theta,phi) = r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)
e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será:
z(theta,phi) = n r(theta,phi) sen (theta)
x(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi)
y(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi)
diferencie x, y e z em relação a theta e phi e
resolva o sistema. Vc vai achar
dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx. O
volume do sólido em coordenadas
cartesianas será
V = int int int f(x,y,z) dxdydz
e do sólido transformado será:
V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz
Vc chegará a conclusão que V' = n^3 V. A esfera e o cubo são casos particulares deste caso geral.
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Tem um outro problema:
Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é
a que
possui a menor superfície.
Esse eu ainda não consegui fazer.
Parece bem difícil.
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ALINE Marconcin wrote:
Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez...
Mostrar que:
1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.
2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes.
Desde de já muito obrigada.
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