RES: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de ralonso
Enviada em: terça-feira, 7 de agosto de 2007 12:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais



1) "Deixa eu ver se entendi, uma teoria A tem os axiomas (a1, a2,
a3...,an) e uma seria de teoremas (Ta1,Ta2...,Tan) ela é
consistente pois seus axiomas nao tem contradição(ou seja todos esses
teoremas são deduzidos desses axiomas)."

  Pelo que entendo, uma coisa é conistência dos axiomas e outra é da
teoria.  Entende-se
que consistência a da teoria decorre da consistência
dos axiomas (ausência de veracidade e falsidade simultâneas, por
caminhos diferentes, de qualquer
teorma deduzido a partir deles).
   Essa não possa ser demonstrada, segundo Göedel, usando o próprio
conjunto (a1, a2, a3...,an).
    A pergunta é:

   Porque a consistência dos axiomas não pode ser demonstrada a partir
deles mesmos?

     Porque o conjunto de axiomas, de qualquer teoria matemática
consistente é SEMPRE incompleto e
sendo incompleto não é capaz de decidir tudo (inclusive sua própria
consistência).
     Sendo assim existirá sempre um teorema decorrente destes axiomas
onde não será possível decidir
sua veracidade ou falsidade, a partir do conjunto de axiomas  (a1, a2,
a3...,an)  .
Esse teorema é dito indecidível no conjunto de axiomas  (a1, a2,
a3...,an).  Pode ser que ele seja decidível
no conjunto (a1, a2, a3...,an) U (b1,b2,...bn).

  Até aqui dizemos que os axiomas são consistentes porque não levam a um

teorema Ta_p   (1<p<=n) e à negação do teorema Ta_p, sempre no conjunto
de axiomas (a1, a2, a3...,an) .

    Agora como provar a consistência dos axiomas, pelo que eu sei,
parece ser outra história:  Uma forma
é deduzir TODOS os teoremas decorrentes deles e não chegar a situações
de prova e negação de um dado teorema por
caminhos diferntes.   Mas como vc sabe se um
teorema qualquer, digamos teorema A, pode ser decidido a
partir do conjunto de axiomas:  (a1, a2, a3...,an) ?

    Resposta. Vc não sabe, porque não deduziu todos os teoremas
possíveis dos axiomas (a1,...,an).
    Isso complica a matemática (*)  e não sabe se a resposta deste
teorema advém deste conjunto.

      E também vc não consegue deduzir todos os teoremas e os teoremas
advindos
de teoremas e assim sucessivamente até esgotar o assunto a partir do um
conjunto de axiomas (a1, a2, a3...,an) .
   Isso é imprático, mesmo para computadores.   É como colocar um monte
de macacos em frente a máquinas
de escrever e esperar que eles digitassem a enciclopédia britância toda
(compilar todos os teoremas
possíveis??? Existe algo capaz de fazer isso???).


     A solução para decidir o que é indecidível usando os axiomas  (a1,
a2, a3...,an) é acrescentar novos axiomas,
provindos do mesmo assunto ou de um assunto diferente.  Novamente, uma
máquina não é capaz de saber
quais axiomas acrescentar sem gerar inconsistência no conjunto (vc pode
gerar inconsistência acrescentando
um axioma a_(n+1) que não seja "razoável" e o computador não tem como
saber o que é "bom senso") , mas uma coisa é
fato, a paritr de uma massa crítica de axiomas (b1,b2...,bn) vc consegue

provar que, de fato (a1, a2, a3...,an) era consistente, como sua
experiência matemática supunha e suspeitava ...

         Vc já viu aqui um mesmo problema sendo resolvido por diferentes

   técnicas (ex: trigonometria, cálculo, etc) e sem resultados
diferentes.  Fantástico não? Quais axiomas
   foram usados em cada caso?  Um computador saberia dizer?  Sim. Com
boa programação e com uma
representação formal é possível fazer um programa que diga isso, mas na
prática, em verdade,
nem nós que resolvemos sabemos ........................



2)"Mais para provar a consistencia de A tem que por uma especie de
indução acrecentar mais axiomas criando uma teoria B que tem os axiomas
(b1,b2,...bn) que dela os teoremas são (a1, a2, a3...,an) "ou seja os
axiomas da teoria A são os teoremas de B".

    Não tenho certeza se a coisa é feita desta forma, mas parece que
sim.
     Como não li o livro de Göedel todo ...eu posso ter dito
besteiras...
quem tiver paciência, então, por favor me corrija.

Abraços.
Ronaldo.

(*)  Leia o livro o último teorema de Fermat que foi provado através de
uma conjectura que aparentemente nada
tinha a ver com o problema ( a conjectura de Taniamma-Shimura que afirma
que toda equação elíptica tem uma
forma modular correspondente).

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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