Re: [obm-l] numeração

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Kleber,

Se eu entendí o que você perguntou você quer saber a quantidade total de
símbolos usados para escrever de 1 até 10^n -1 , é isto?

Por exemplo (se eu entendi...), para escrever de 1 a 99 no nosso sistema
decimal usual, é necessario usar 9 símbolos para os números de (1 a 9),
mais 180 símbolos para escrever de 10 a 99 (que corresponde a 2 simbolos
para cada um dos 90 números), etc:

Se minha interpretação esta correta, vamos lá:

-  Decimal usual
Qde = (10 - 1) + 2* (100 - 10) + 3 * (1000 - 100) + ... + n [10^n -
10^(n-1) ]
Qde = n.10^n - [ 1 + 10 + 100 + 1000 + ...+ 10^(n-1) ]   
(note a PG)
Qde = n.10^n - (10^n - 1)/9

Egípcio  
Suponha, por exemplo, que você escreveu os números de 1 a 99 e que usou
até ai X símbolos.  Para escrever os números de 101 a 999 precisamos
"unir"  as escritas destes 99 números números com:
- 1 símbolo de 'centena' para escrever os números de 101 a 199 (falta o
100);
- 2 símbolos de 'centena' para escrever os números de 201 a 299 (falta o
200); 
- 3 símbolos de 'centena' para escrever os números de 301 a 399 (falta o
300)...
...
- 9 símbolos de 'centena' para escrever os números de 901 a 999;

Mas ficaram faltando o 100, 200, ... e o 900, o que exige um total
(1+2+...+9) símbolos de centena, ou seja, 45 símbolos a mais.

Então, no total, para escrevermos os números de 100 a 999 usamos  9X
+ 45 símbolos ! 

De uma maneira geral (perceba que o raciocínio anterior se mantém),
chamando de Q(n) a quantidade de símbolos para escrever os numeros de 1 a
10^n - 1 usaremos 9 vezes esta quantidade para completar a escrita de
10^n até  10^(n+1) -1 acrescidos de 1+2+3+...+9 = 45 símbolos. 
Assim: 
Q(n+1) = Q(n) + 9 Q(n) + 45 , ou seja, Q(n+1) = 10.Q(n) + 45 e obviamente
Q(1) =  45  (1 pauzinho mais 2 pauzinhos, etc) 

Esta recorrência é clássica (uma progressão aritmética-geométrica). 
Logo,  Q(n) = 5(10^n - 1)

Espero não ter me distraído...  

Abraços,
Nehab

PS: Possivelmente para o caso egípcio n é no maximo 6 pois não conheço
símbolo maior que 1 milhão neste sistema de numeração.

At 12:00 12/9/2007, you wrote:
> Considere o sistema de numeração
> por agrupamento aditivo egípicio e o sistema de numeração decimal
> indo-arábico.
>  
> Para cada n pertencente aos naturais, determine expressões para as
> quantidades de símbolos necessários para expressar todos os números
> naturais menores que 10^n em cada um dos sistemas.
>
> -- 
> Kleber B. Bastos