Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinat�ria e Probabilidade

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi,

Corrigindo (me atrapalhei nas contas - fui fazer mentalmente e
errei):  
f(n+1) / f(n) = 3(n+1)/(60-n) > 1  --->  n >
14,25  --->  n >= 15  
Nehab

At 08:33 18/8/2007, you wrote:
> Oi, Pedro e Salhab,
>
> Para minimizar f(n), Pedro, basta olhar o valor de f(n+1)/f(n)  e
> ver quando esta jo�a � maior que 1.   Ai voc� "v�" o
> crescimento de f(n):
> f(n+1) / f(n) = 3n/(60-n) > 1  --->  n > 15 que � o
> que voc� queria, eu acho.  
>
> Mas eu n�o entendi o problema ou o que voc� est�o falando � simplesmente
> a distribui��o (de probabilidade) chamada de binomial.   O
> valor esperado da distribui��o binomial � np, ou seja,  60 . 1/4 =
> 15.
>
> Vejamos: a probabilidade de voc� acertar k quest�es �, como Pedro j�
> escreveu, P(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k).
>
> Desejamos ent�o a m�dia desta distribui��o, ou seja,  o somat�rio [
> k . P(k) ], k de 0 a n
>
> Mas este somat�rio � simples (veja em
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution): usa apenas
> macetezinho bobo de combina��es... para se provar que vale np.
>
> Abra�os,
> Nehab
>
>
> At 02:22 18/8/2007, you wrote:
> > Salhab, primeiro obrigado por
> > tentar resolver o problema. Segundo, vou procurar te mostrar at� onde
> > cheguei, para ver se voc� consegue, porque conhece muito mais do que eu,
> > solucionar de vez a quest�o.
> >
> > A chance de se acertar n quest�es - P(n) - � igual a (1/4)^n *
> > (3/4)^(60-n) * C(60,n). Esse fator
> > C(60,n) entra porque n�o foi estabelecida nenhuma ordem de acerto.
> > Reescrevendo, separando o que varia do que � constante, temos:
> >
> > P(n) = (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * 3^n *
> > n! * (60-n)!]
> > Veja que, dessa forma, o numerador � constante e somente uma parte do
> > denominador � vari�vel.
> >
> > P(n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * f(n)], onde f(n) = 3^n * n! *
> > (60-n)!
> >
> > O problema passa a ser minimizar f(n), n variando de 0 a 60. Para a+b =
> > 60, a>b, C(60,a) = C(60,b), mas 3^a > 3^b. Fica bem �bvio, ent�o
> > (embora isso j� fosse algo intuitivo), que s� temos de testar os valores
> > at� n = 30. Para n = 31, por exemplo, f(29) < f(31) =>
> > P(29)>P(31).
> >
> > Sobre intuitivmente acertarmos 1 quest�o a cada quatro... Vamos supor uma
> > prova composta de 4 quest�es, cada uma com quatro alternativas. Nesse
> > caso, f(n) = 3^n * n! * (4-n)!, e s� precisamos testar at� n =
> > 2.
> >
> > Testando n=1... f(1) = (3 * 1! * 3!) = 18
> > Testando n=2... f(2) = (3^2 * 2! * 2!) = 36.
> >
> > De fato, acertar uma quest�o � o mais prov�vel. Acertar 15 de 60 tamb�m
> > seria portanto o resultado mais prov�vel para a UERJ. Acho, ali�s, que eu
> > poderia supor ser essa prova de 60 quest�es a jun��o de 15 provas de 4
> > quest�es. E, testando alguns valores, lembrando que f(n) tem de ser
> > minimizado, temos:
> >
> > f(14) = 3^14 * 14! * 46!
> > f(15) = 3^15 * 15! * 45! = f(14)*45/46
> > f(16) = 3^16 * 16! * 44! = f(14)*48/46
> >
> > f(15)<f(14)<f(16), o que faz sentido. A chance deve crescer de 1
> > at� 15 e descrescer de 15 at� 60.
> >
> > Mas eu ainda queria saber como minimizar f(n) = 3^n * n! *
> > (60-n)!
> >
> > Grato,
> >
> > Pedro Laz�ra Cardoso
> >
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