Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória e Probabilidade

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Pedro e Salhab,

Para minimizar f(n), Pedro, basta olhar o valor de f(n+1)/f(n)  e
ver quando esta joça é maior que 1.   Ai você "vê" o
crescimento de f(n):
f(n+1) / f(n) = 3n/(60-n) > 1  --->  n > 15 que é o
que você queria, eu acho.  

Mas eu não entendi o problema ou o que vocês estão falando é simplesmente
a distribuição (de probabilidade) chamada de binomial.   O
valor esperado da distribuição binomial é np, ou seja,  60 . 1/4 =
15.

Vejamos: a probabilidade de você acertar k questões é, como Pedro já
escreveu, P(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k).

Desejamos então a média desta distribuição, ou seja,  o somatório [
k . P(k) ], k de 0 a n

Mas este somatório é simples (veja em

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution): usa apenas
macetezinho bobo de combinações... para se provar que vale np.

Abraços,
Nehab


At 02:22 18/8/2007, you wrote:
> Salhab, primeiro obrigado por
> tentar resolver o problema. Segundo, vou procurar te mostrar até onde
> cheguei, para ver se você consegue, porque conhece muito mais do que eu,
> solucionar de vez a questão.
>
> A chance de se acertar n questões - P(n) - é igual a (1/4)^n *
> (3/4)^(60-n) * C(60,n). Esse fator
> C(60,n) entra porque não foi estabelecida nenhuma ordem de acerto.
> Reescrevendo, separando o que varia do que é constante, temos:
>
> P(n) = (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * 3^n *
> n! * (60-n)!]
> Veja que, dessa forma, o numerador é constante e somente uma parte do
> denominador é variável.
>
> P(n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * f(n)], onde f(n) = 3^n * n! *
> (60-n)!
>
> O problema passa a ser minimizar f(n), n variando de 0 a 60. Para a+b =
> 60, a>b, C(60,a) = C(60,b), mas 3^a > 3^b. Fica bem óbvio, então
> (embora isso já fosse algo intuitivo), que só temos de testar os valores
> até n = 30. Para n = 31, por exemplo, f(29) < f(31) =>
> P(29)>P(31).
>
> Sobre intuitivmente acertarmos 1 questão a cada quatro... Vamos supor uma
> prova composta de 4 questões, cada uma com quatro alternativas. Nesse
> caso, f(n) = 3^n * n! * (4-n)!, e só precisamos testar até n =
> 2.
>
> Testando n=1... f(1) = (3 * 1! * 3!) = 18
> Testando n=2... f(2) = (3^2 * 2! * 2!) = 36.
>
> De fato, acertar uma questão é o mais provável. Acertar 15 de 60 também
> seria portanto o resultado mais provável para a UERJ. Acho, aliás, que eu
> poderia supor ser essa prova de 60 questões a junção de 15 provas de 4
> questões. E, testando alguns valores, lembrando que f(n) tem de ser
> minimizado, temos:
>
> f(14) = 3^14 * 14! * 46!
> f(15) = 3^15 * 15! * 45! = f(14)*45/46
> f(16) = 3^16 * 16! * 44! = f(14)*48/46
>
> f(15)<f(14)<f(16), o que faz sentido. A chance deve crescer de 1
> até 15 e descrescer de 15 até 60.
>
> Mas eu ainda queria saber como minimizar f(n) = 3^n * n! *
> (60-n)!
>
> Grato,
>
> Pedro Lazéra Cardoso
>
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