Com 66 = 2 * 3 * 11, temos que mostrar que n = 43^23 + 23^43 é divisível por 2, 3 e 6. Como 23 e 43 são ímpares, é imediato que as 2 parcelas sao impares, disto decorrendo que a soma n eh par. Assim 2| n.
Observemos que 43 = 1 (mod 3) e que 23 = -1 (mod 3). Logo, pelas propriedades das congruencias,
43^23 = 1^23 =1 (mod 3) e
23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 3) Somando estas congruencias, concluimos que
n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 3), ou seja, 3|n
Agora, observemos que
43 = (-1) (mod 11) e 23 = 1 (mod 11) Logo
43^23 = 1^23 = 1 (mod 11)
23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 11). Somando,
n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 11), ou seja 11|n
Assim, 66|n
Abracos
Artur
[Artur Costa Steiner]
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Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66