RE: [obm-l] Projeção Ortogonal

[francisco medeiros <medeiros_fbm@xxxxxxx>]

Caro Alonso,

o problema não é quando V não tem dimensão finita, e sim quando W (=ImP) não tem dimensão finita.

Consegue-se provar que o resultado é válido quando aprojeção P admite adjunta.

Att,
   Francisco

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Date: Thu, 19 Jul 2007 16:19:34 -0300
From: ralonso@trieste.fapesp.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Projeção Ortogonal

Comentário:  Geometricamente no caso euclidiano, não é difícil ver que a conclusão é válida, mesmo
se o espaço tiver dimensão infinita.  Projeções são conjuntos de coordenadas, cada um desses conjuntos
é um subespaço e pelo teorema do núcleo e da imagem a soma das dimensões do núcleo e da imagem
dá a dimensão do espaço.  A condição  |Pv| <= |v| significa que não estão sendo projetadas todas as coordenadas.
Se as coordenadas são ortogonais então a projeção é ortogonal e acabou.  O problema é quando as coordenadas
não são ortogonais, ou o espaço é, digamos, um espaço de funções (dimensão infinita). francisco medeiros wrote:

Olá Pessoal. Alguém poderia me ajudar no problema abaixo de álgebra linear?
Problema: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (K=C ou K = R) com produto interno, e seja W um subespaço de V. Prove que se P: V --> V é uma projeção (i.e., PP = P) cuja imagem é W e |Pv| <= |v|, para todo v em V, então P é uma projeção ortogonal em W.
Obs.: Uma Projeção Ortogonal P é uma projeção tal que Ker(P) é ortogonal a Im(P).
Grato desde já,
              Francisco.
PS.: Consigui resolver o problema acima no caso em que W tem dimensão finita!

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