Re: [obm-l] iberoamericana

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá novamente Klaus,
acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam
caso esteja errada...:)

Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da
circunferencia pedida.
O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos
segmentos MN e MA.
1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.
2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA.
3) Chame o ponto da interseccao de P.

Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R.
O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i)
O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii)
O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii)
Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv)
Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2.
Mas, sabemos que a + b = k.
Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2 .... k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2
b = (k^2 - r^2)/(2k)
veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo).
Deste modo, o comprimento "b" é constante. Consequentemente, "a" é constante.
Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta
que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e
A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos
constantes (isto é, nao variam com a escolha de M).
Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M).
Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada).

Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o
segmento OA em "b" e "a" e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos
X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente
em "b" e "a" para qualquer posicao de M.
Deste modo, X sempre pertence a esta reta.

Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande
outra mensagem.

abracos,
Salhab




On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com> wrote:
> Olá Klaus,
> ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
> se eu conseguir pode deixar que eu mando..
> tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/10/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:
> >
> > Ola Marcelo,
> >                      será q vc num consegue algum modo de fazer usando
> > geometria sintética?
> > vlw.
> >
> >
> > ----- Mensagem original ----
> > De: Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
> > Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
> >
> >
> > Olá,
> > pensei em uma abordagem usando vetores..
> > vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> > vetores M e A..
> > como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> > encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> > M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> > x = produto vetorial
> > . = produto escalar
> >
> > V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> > (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> > portanto, esta reta já esta determinada..
> >
> > V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> > 0.. este é um ponto da demana de MN
> > portanto, esta reta tambem já esta determinada..
> >
> > temos que encontrar X, tal que:
> > X = (A+M)/2 + s*V1
> > X = t*V2
> >
> > X é o centro da circunferencia pedida..
> > (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> > fazendo o produto escalar por M, temos:
> > [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> > [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> > s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
> >
> > assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> > agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
> >
> > vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
> >
> > abracos,
> > Salhab
> >
> >
> > On 7/9/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:
> > >
> > > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
> > um
> > > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
> > o
> > > lugar geométrico dos centros das  circunferências que passam por A, M e N
> > > quando M varia.
> > >
> > > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
> > porém
> > > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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