Re: [obm-l] questão do colégio naval

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Ronaldo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Talvez o resultado abaixo facilite a solucao (P < N ) :

"Se P/N e uma fracao irredutivel e gera uma dizima periodica simples
entao N nao e divisivel por 2 e nem por 5. Se N for divisivel por 2^A
e por 5^B, então P/N :

1) Sera uma divisao exata ( numero decimal exato ) se N nao for
divisivel por nenhum outro fator primo e tera tantas casas decimais
quanto for o maior dos expoentes A ou B.
2) Sera uma dizima periodica composta se N for divisivel por outro
primo ( diferente de 2 e 5) e o ante-perido tera tantos algarismos
quanto o maior dos expoentes A ou B.

Notando que 2 e 5 sao fatores de 10, a nossa "BASE HABITUAL", isto
sugere que, por exemplo, na base 6, vale uma regra equivalente para os
fatores 2 e 3. Alguem se habilita a formular e demonstrar este
resultado, no caso de uma base arbitrária ?

Um Abraço a Todos
Paulo Santa Rita
4,0114,040707

Em 04/07/07, ralonso<ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
> Ah... eh verdade... não prestei atenção quando resolvi.
>    Neste caso é mesmo mais difícil.
>    Você poderia apresentar a solução aqui para a gente ver?
>
> marcelo oliveira wrote:
>
> > Na verdade a questão pergunta o número de subconjuntos de M, ou seja, o
> > valor de 2^n, onde n é a quantidade de elementos de M.
> > Depois que enviei a mensagem para a lista um colega meu me repassou um
> > teorema que resolve a questão rapidinho. Só achei demais para a cabeça de
> > quem deveria estar na oitava série saber um teorema sobre dízima periódicas
> > cuja demonstração não é nada trivial.
> >
> > >From: ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Re: [obm-l] questão do colégio naval
> > >Date: Wed, 04 Jul 2007 09:43:08 -0300
> > >
> > >
> > >
> > >marcelo oliveira wrote:
> > >
> > > > Esta questão caiu na prova do colégio naval de 1991/1992. Alguma alma
> > > > bondosa poderia resolver pra mim?
> > > >
> > > > Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por
> > >três
> > > > algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada
> > >um
> > > > deles é uma dizima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos
> > > > algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os
> > >respectivos
> > > > inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M
> > >é:
> > > > a) 16        c) 1024      e) maior que 3000
> > > > b) 256      d) 2048
> > > >
> > >
> > >3 algarismos distintos e primos: 2, 3, 5, 7 existem A(4,3) = 4x3x2 = 24
> > >números
> > >
> > >que se podem formar nestas condições.  Com mais algumas restrições esse
> > >número deve diminuir, logo a única alternativa que cabe neste
> > >caso é a A.  Não é preciso nem examinar a dízima periódica de cada um
> > >desses
> > >números ... para concluir que a resposta é letra A.
> > >
> > >Ronaldo
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Agradeço desde já as tentativas de solução (por mais que frustradas) dos
> > > > colegas da lista, pois já perdi muito tempo nesta questão e não saiu
> > >nada.
> > > >
> > > > Até mais,
> > > > Marcelo Rufino

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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