Re: [obm-l] russia 1999

["Maur�cio Collares" <mauricioc@xxxxxxxxx>]

Klaus,

A solu��o do Nicolau � muito bonita. Tem algum detalhe em espec�fico
que voc� n�o tenha entendido? Ele s� chamou o coeficiente angular da
reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a
nota��o um pouco mais leve, eu acho.

A id�ia � que, se n�o existissem pontos que satisfizessem isso, ent�o,
(f(t+a) + f(t-a))/2 > f(t), ou seja, ter�amos que a reta que liga o
ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto
de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes est�
estabelecida (basta aplicar a defini��o de coeficiente angular).
Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma
contradi��o (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os
pares de pontos na solu��o do Nicolau s�o inteiros, visto que s�o a
divis�o de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros
existem apenas um n�mero finito de inteiros.)

--
Abra�os,
Maur�cio

On 6/29/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:
>
> Ol� prof. Nicolau,
>              poderia ser mais claro? Entendi nada da solu��o do problema.
> Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a
> id�ia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale?
> Grato.
>
>
> ----- Mensagem original ----
> De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43
> Assunto: Re: [obm-l] russia 1999
>
>
>
> On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote:
> >  (Russia-1999)  Suponha f: Q-->Z, mostre que existem dois racionais
> distintos
> >  r e s tais que (f(r)+f(s))/2<=f((r+s)/2).
>
> Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta
> que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)).
> Suponha por absurdo que falhe a conclus�o do problema.
> Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0.
> Assim
> c(-1,0) < c(-1/2,0) < c(-1/4,0) < c(-1/8,0) < ...
> ... < c(0,1/8) < c(0,1/4) < c(0,1/2) < c(0,1).
> Mas estes coeficientes angulares s�o todos inteiros, o que � um absurdo.
>
> []s, N.
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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