Re: [obm-l] Desafio - Análise Real

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Olá Marcelo e demais:
    Uma dica que não sei se ajuda muito:  Não sei se alguém observou
que a sequencia  definida por  c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
  A prova então poderia seguir a seguinte linha:
  Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e  rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
    Assim se Sum c_n converge então c_n ->  0.
Existe alguma falha de raciocínio?  Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?

Abraços
Ronaldo.

Marcelo Salhab Brogliato wrote:

> Olá,
> o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
> entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
> informacao que lim b_k = 0 é redundante.
>
> c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
> c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
>
> lim a_n = 0
> entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1
>
> portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k <
> Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf
>
> logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < inf
> portanto: c_n converge.
>
> falta provarmos que converge pra 0..
> assim que sair eu envio..
> abracos,
> Salhab
>
> On 6/28/07, Fellipe Rossi <felliperossi@globo.com> wrote:
> >
> > Caros colegas,
> > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
> > precisamente, seqüências.
> > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
> > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
> >
> > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
> > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
> > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência  (c_n) definida por
> > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
> >
> >
> > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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