Re: [obm-l] Duvida

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jun 21, 2007 at 11:47:19PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote:
> Oi, Nicolau (e demais colegas envolvidos com este problema)...
> 
> Ah se eu tivesse como qualidade uma pequena dose que fosse do seu 
> pragmatismo...!!!
...
> Mas quando eu percebi que tinha que fazer "aquelas contas" desisti 
> deste caminho, pois fui menos pragmático (um dos grandes defeitos que 
> tenho) e pensei:  e se o enunciado pedisse  a^2001+b^2001+c^2001?   O 
> que eu faria?  

Oi Nehab, 

Antes de mais nada obrigado pelos elogios.

Mas a sua observa��o me fez pensar mais no problema original:

> >> Se a, b e c s�o n�meros complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e
> >> a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.

Pensando nos seus coment�rios cheguei na seguinte variante da solu��o.
Ela � �tima se voc� tiver uma calculadora.

J� vimos que a, b, c s�o as ra�zes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
N�o � dif�cil ver que este polin�mio tem uma �nica raiz real a que est�
entre 1 e 2 e com um pouco de trabalho obtemos a ~= 1.8392868.
Como o produto das tr�s ra�zes � -1, b e c s�o complexos conjugados
de m�dulo menor do que 1. Assim, para n grande temos
a^n + b^n + c^n ~= a^n ~= (1.8392868)^n.
Esta aproxima��o meio porca � suficiente para obtermos
a^21 + b^21 + c^21 ~= 361109.18
e como a resposta � obviamente inteira concluimos corretamente que
a^21 + b^21 + c^21 ~= 361109.

[]s, N.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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