Re: [obm-l] Dúvida

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
> Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
> 
> Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e  
> a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.

Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc.
Temos
(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 
1 = 3 + 2X
X = -1

(ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
-1 = Y + 3Z

(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
-1 = 7 + 3Y + 6Z

Y = -4, Z = 1

Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n:

p_1  = 1
p_2  = 3
p_3  = 7
p_4  = 11
p_5  = 21
p_6  = 39
p_7  = 71
p_8  = 131
p_9  = 241
p_10 = 443
p_11 = 815
p_12 = 1499
p_13 = 2757
p_14 = 5071
p_15 = 9327
p_16 = 17155
p_17 = 31553
p_18 = 58035
p_19 = 106743
p_20 = 196331
p_21 = 361109

Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.

Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
cujos autovalores são a,b,c.

    [0    0    1]
N = [1    0    1]
    [0    1    1]

Temos

      [0    1    1]
N^2 = [0    1    2]
      [1    1    2]

      [1    2    4]
N^4 = [2    3    6]
      [2    4    7]

      [2    4     7]
N^5 = [3    6    11]
      [4    7    13]

       [44     81    149]
N^10 = [68    125    230]
       [81    149    274]

       [19513    35890     66012]
N^20 = [30122    55403    101902]
       [35890    66012    121415]

       [35890     66012    121415]
N^21 = [55403    101902    187427]
       [66012    121415    223317]

Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
matrizes anteriores.

Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
(e chegamos na mesma resposta).

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================