Re: [obm-l] Questao de Logica

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Só para constar, aprendi que prova por vacuidade é quando não há o que fazer
para se prosseguir em determinado ponto. Para ser mais direto, é uma espécie de 
"verdadeiro por falta de provas".

Um exemplo é o seguinte problema da Ibero universitária:

"Um numero inteiro positivo primo e dito superprimo se ocorre o seguinte fenomeno:
1- Escreve-se o numero em uma base arbitraria.
Por exemplo, 11 é(1011) na base 2.

2- Permuta-se os seus digitos, arbitrariamente.
Por exemplo, do 11 se pode ir até o (1110)=14

Se o numero produzido ao final do processo for composto, 
para alguma destas escolhas arbitrárias de base e de permutacao, 
entao o numero nao e superprimo.
Caso contrario, ele e superprimo.

Determine todos os superprimos.
"

O problema em si é interessante (e divertido!), mas fato é que, por falta de provas, 
o numero 2 e superprimo, pois é impossível provar o contrário.
E essa é a definição de vacuosidade!

Mas quando se fala desta questao de prova, acho que é forçar a barra em falar de
vacuosidade. De fato nao tem sentido falar de limite de coisas "divergentes". Mas aí
é uma questão teórica e não prática.

Em 17/06/07, Davi de Melo Jorge Barbosa <dbarbosa@gmail.com> escreveu:

Prova por vacuidade eh o nome dado para uma das formas de provar uma proposicao do tipo "A -> B".
Voce pode provar diretamente (supor que A eh verdade e ir fazendo contas para mostrar que B tambem eh), por contradicao etc... Provar por vacuidade eh quando voce estabelece que A eh falso. Logo, a proposicao "A -> B" eh verdadeira, ou seja, voce provou ela sem utilizar o B (pouco importa se o B eh uma tautologia, uma contradicao ou se depende de outra coisa).
Exemplo:
Proposicao: Se |X| < 0 entao X = 3.
Como |X| >= 0 para todo X, a afirmacao "|X| < 0" eh falsa, logo a proposicao eh verdadeira.

On 6/15/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas <demanuelvargas19@yahoo.com.br> wrote:

Caro Artur

 

desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ?

 

abraços

 

Dênis

Artur Costa Steiner < artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:

Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente.

Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n" eh verdadeira).

Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista?

Abarcos
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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