Re: [obm-l] Questao de Logica

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Carissimo Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Na Manifestacao abaixo o Prof Nicolau usa a definicao usual de limite
de uma sequencia para dirimir uma controversia, a priori, conceitual.
Esta atitude e contemporanea e so lentamente foi sendo percebida pelos
Matematicos do passado : que eventuais criticas ou fraquezas
conceituais fossem respondidas ou abordadas COM BASE NA DEFINICAO
MATEMATICA RIGOROSA e nao em consideracoes filosoficas mais ou menos
volateis ou subjetivas. No link abaixo, no lado direito da página, ha
um bom material neste sentido, inclusive com uma Introducao a
Filosofia da Matematica pelo Prof Bertrand Russel :

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/traducoes/

Um Matematico define um objeto conceitual qualquer desde que a
definicao seja UTIL e nos permita trabalhar naturalmente com ela. Ele
nao define buscando a ESSENCIA ou ESTRUTURA ONTOLOGICA do objeto.
Assim, o que devemos entender por LIM Xn e precisamente o que a
definicao diz, nada mais e nada menos que isso !

Nos primordios do Calculo Diferencial, o uso intuitivo dos limites
baseado no conceito de infinitesimos nao so tornava a nossa ciencia
suscetivel a criticas filosoficas, sobretudo do Padre Berkeley, como
conduzia a varias conclusoes erradas. A definicao atual, introduzida
por Cauchy e chamada DEFINICAO ESTATICA, e adotada nao so porque e
operacional e corresponde as nossas expectativas, mas tambem
fortemente porque nos livra de muitas das criticas consistentes que
aquele Padre fez ... Nos, Matematicos, DEFINIMOS porque a nossa
definicao e util e nos permite chegar a resultados interessantes e nao
com o objetivo de descrever a ESSENCIA ou ESTRUTURA ONTOLOGICA das
coisas !

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,0422,130607





Em 13/06/07, Nicolau C. Saldanha<nicolau@mat.puc-rio.br> escreveu:
> On Tue, Jun 12, 2007 at 02:55:04PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> > Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em
> > duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o
> > exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e
> > concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente.
> >
> > Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava
> > errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a
> > sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro
> > julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento:
> > como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer
> > coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por
> > vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a
> > seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de
> > fato verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x
> > nao eh limite de x_n" eh verdadeira).
> >
> > Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por
> > vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida:
> > Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria
> > " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e
> > acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh
> > difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a
> > concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem
> > sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista?
>
> A definição usual de limite de seqüência é a seguinte:
>
> lim x_n = L
>
> <=>
>
> Para todo e > 0 existe N tq para todo n
> n > N -> |x_n - L| < e
>
> Se você tomar uma seqüência divergente como por exemplo, x_n = (-1)^n
> então a condição é falsa para todo L, em particular para L = 1.
> De fato, existe e > 0 (por exemplo e = 1) tal que para todo N
> existe n > N (basta tomar n ímpar) para o qual |x_n - L| >= e
> (de fato, |x_n - L| = 2 > e = 1).
>
> O que o aluno observa é que a frase
> Para todo L (lim x_n = L -> L = 1)
> é correta.
> Isto é verdade, mas a frase não é equivalente a
> lim x_n = 1
> (como este exemplo ilustra).
> Também não é correto dizer que lim x_n = 1 vale "por vacuidade".
>
> []s, N.
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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