Re: [obm-l] Questao de Logica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jun 12, 2007 at 02:55:04PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em
> duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o
> exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e
> concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. 
> 
> Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava
> errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a
> sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro
> julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento:
> como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer
> coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por
> vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a
> seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de
> fato verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x
> nao eh limite de x_n" eh verdadeira).
> 
> Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por
> vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida:
> Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria
> " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e
> acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh
> difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a
> concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem
> sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista?

A definição usual de limite de seqüência é a seguinte:

lim x_n = L

<=>

Para todo e > 0 existe N tq para todo n
n > N -> |x_n - L| < e

Se você tomar uma seqüência divergente como por exemplo, x_n = (-1)^n
então a condição é falsa para todo L, em particular para L = 1.
De fato, existe e > 0 (por exemplo e = 1) tal que para todo N
existe n > N (basta tomar n ímpar) para o qual |x_n - L| >= e
(de fato, |x_n - L| = 2 > e = 1).

O que o aluno observa é que a frase
Para todo L (lim x_n = L -> L = 1)
é correta.
Isto é verdade, mas a frase não é equivalente a
lim x_n = 1
(como este exemplo ilustra).
Também não é correto dizer que lim x_n = 1 vale "por vacuidade".

[]s, N.



 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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