[obm-l] f�rmula geral para a soma S

["Tales Prates Correia" <tales1337@xxxxxxxxxxx>]

Ol� integrantes da lista,

Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de voc�s -

o qual pedia para determinar a seguinte soma:

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exerc�cios an�logos:

S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)

S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)

Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma f�rmula geral para a soma

das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somat�rio:

S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .

onde a seq��ncia f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma

progress�o aritm�tica de primeiro termo A1 = A e raz�o r tal que r � 
diferente

-A/q , com q natural n�o nulo.

E ap�s raciocionar um pouco, cheguei a seguinte f�rmula:

S = (n-1)/(A1)x(An)

Todavia, n�o fiquei satisfeito com a dedu��o por mim realizada.

Por isso, pe�o encarecidamente que algu�m me mostre o seu racioc�nio para o 
mesmo problema.

Agrade�o desde j�,

�tila Prates Correia.

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On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>
>Pensei em alguma coisa assim:
>
>1)
>Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
>escolhida. Seja
>X � a vari�vel aleat�ria n�mero de tentativas at� que a porta se abra pela
>primeira vez.
>
>P(X=1)=1/n
>P(X=2)=1/n*1/(n-1)
>P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)
>
>.
>.
>.
>P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)
>

Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
primeira, fiz besteira.

2) Encontrei 0,037 e 0,2702
>

Na segunda, concordamos.

3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m
>

No segundo item da 3 tamb�m concordamos, mas quanto ao primeiro (que est�
errada na minha resposta anterior)...
A chance dele responder corretamente � p ou n�o p e 1/m, certo? N�o entendi
a raz�o do menos na sua resposta, ali n�o seria um mais?

Um abra�o.

Valdoir Wathier.

ALgu�m confirma esses valores?!
>
>------------------------------
>Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
>From: vwathier@gmail.com
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Tr�s Problemas de Probabilidade
>
>On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>
>Companheiros, gostaria de aux�lio nas seguintes quest�es:
>
>1) Um indiv�duo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
>seleciona, a cada tentativa,
>uma chave ao acaso sem reposi��o e tenta abrir a porta. Qual a
>probabilidade de que ele abra a porta
>na k-�sima tentativa (k=1,2,3...,n).
>
>
>Todas t�m exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
>1/n e de n�o abrir a porta, por consequencia, a chance � de (n-1)/n, para
>qualquer chave.
>A probabilidade de que uma dada chave abra a porta � de que nenhuma das
>anteriores abra a porta e que ela abra.
>Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
>A primeira chave n�o abre: (n-1)/n.
>A segunda chave n�o abre: (n-1)/n.
>A terceira chave abre: 1/n.
>A probabilidade, ent�o, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n
>
>Por este mesmo racioc�nio, para saber o resultado geral, basta pensar que
>teremos k-1 portas que n�o devem abrir a chave e ent�o uma porta que abre,
>ou seja:
>[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
>1)^(k-1) / n^k
>
>Acho que � algo nessa linha.
>
>  2) Tr�s m�quina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
>total de pe�as de uma f�brica.
>As porcentagens de produ��o defeituosa destas m�quinas s�o 3%, 4% e 5%. Se
>uma pe�a � selecionada
>aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a pe�a
>selecionada � defeituosa, encontre a
>probabilidade de ter sido produzida pela m�quina C.
>
>
>Probabilidade de  ser defeituosa:  Para isso voc� pega o percentual de
>produ��o de cada m�quina e multiplica pelo percentual de pe�as com defeito
>que cada uma produs.
>ATEN��O: estou considerando que os 3% significam que do total de pe�as
>produzidas pela m�quina A, 3% apresentam defeito (acho que isto n�o est� 
>bem
>claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de pe�as tamb�m).
>M�quina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das pe�as possuem defeito E foram
>produzidas pela m�quina A).
>M�quina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das pe�as possuem defeito E foram
>produzidas pela m�quina B).
>M�quina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das pe�as possuem defeito E foram
>produzidas pela m�quina C).
>
>A probabilidade da pe�a ser defeituosa � 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%.
>
>Sabendo que ela � defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida
>pela m�quina C?
>A maquina C responde por 1/3,7 das pe�as defeituosas, ent�o, a
>probabilidade � de aproximadamente 27%.
>
>  3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma quest�o de um
>exame de m�ltipla escolha � p.
>H� m respostas poss�veis para cada quest�o, das quais apenas uma �
>correta. Se o aluno n�o sabe a resposta para uma dada quest�o, ele escolhe
>ao acaso uma das m respostas poss�veis.
>
>  a) Qual � a probabilidade de o aluno responder corretamente uma quest�o?
>     1/m
>
>
>b) Se o aluno respondeu corretamente � quest�o, qual � a probabilidade de
>que ele tenha "chutado" A resposta?
>   H� duas formas dele acertar. A primeira � sabendo a quest�o, o que
>corresponde a P, a segunda �, se n�o souber (n�o p), chutar e acertar. 
>Ainda
>poderia chutar e errar, mas j� sabemos que acertou, ent�o, a probabilidade
>de que ele tenha chutado � a probabilidade de: ele N�O saber (que
>corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar.
>
>
>  (1 - p)*(1/m) = (1-p)/m
>
>  Desde j� grato pela sua ajuda!
>
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>
>
>Espero que ajude,
>
>Valdoir Wathier.
>
>
>
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